2) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức:

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta được:

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\frac{\left(a+b-c+b+c-a\right)^2}{4}=\frac{4b^2}{4}=b^2\)

Tương tự chứng minh được:

\(\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\)

\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)

Nhân vế 3 bất đẳng thức trên với nhau ta được:

\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác

\(\Rightarrow a< b+c\Rightarrow2a< a+b+c=6\Rightarrow a< 3\)

Chứng minh tương tự ta được: \(b< 3;c< 3\)

\(\Rightarrow3-a>0;3-b>0,3-c>0\)

Do đó:

\(\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\dfrac{3-a+3-b+3-c}{3}\right)^3=\left(\dfrac{9-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27\le1\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-27\le1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge3\left(ab+bc+ca\right)-28\)

\(\Leftrightarrow2abc\ge6\left(ab+bc+ca\right)-56\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-56\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-56=52\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

BĐT vế phải:

Vẫn từ chứng minh trên, \(3-a>0;3-b>0,3-c>0\)

\(\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27>0\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-27>0\)

\(\Leftrightarrow abc< 3\left(ab+bc+ca\right)-27\)

\(\Leftrightarrow2abc< 6\left(ab+bc+ca\right)-54\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-54\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 3\left(a+b+c\right)^2-54=54\) (đpcm)

1.

- Với \(a+b\ge4\Rightarrow A\le0\)

- Với \(a+b< 4\Rightarrow4-a-b>0\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.b.\left(4-a-b\right)\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+4-a-b\right)^4=4\)

\(A_{max}=4\) khi \(\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\)

2.

\(P=a+\dfrac{1}{2}.a.2b\left(1+2c\right)\le a+\dfrac{a}{8}\left(2b+1+2c\right)^2\)

\(P\le a+\dfrac{a}{8}\left(7-2a\right)^2=\dfrac{1}{8}\left(4a^3-28a^2+57a-36\right)+\dfrac{9}{2}\)

\(P\le\dfrac{1}{8}\left(a-4\right)\left(2a-3\right)^2+\dfrac{9}{2}\le\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)

Câu 3 bạn xem lại đề, mình có thể chắc chắn với bạn là đề sai

Ví dụ bạn cho \(x=98,y=100\) thì vế trái chỉ lớn hơn 8 một chút

Đề đúng phải là: \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)

Nếu câu 3 đề là \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)

Ta có:

\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+2\)

\(VT=\dfrac{x^2+y^2-2xy+2xy}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+2\)

\(VT=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{16xy\left(x-y\right)^2}{xy\left(x-y\right)^2}}+4=12\)