bài này có 1 ý thui à bạn 

Vẽ AM ⊥ AF cắt tia CB tại M.
△AME vuông tại A, đg cao AB: \(\dfrac{1}{AB^2}\) = \(\dfrac{1}{AM^2}\)+\(\dfrac{1}{AE^2}\) (1)
Xét ΔABM vuông tại B và ΔADF vuông tại D có: góc MAB = góc FAD (cùng phụ góc BAE)
⇒ △ABM ∽ △ADF (g.g)
⇒ \(\dfrac{AM}{AF}\) = \(\dfrac{AB}{AD}\) = 2
⇒ AM = 2AF (2)
(1)(2) ⇒ \(\dfrac{1}{AB^2}\) = \(\dfrac{1}{4AF^2}\)+\(\dfrac{1}{AE^2}\)  


              

vẽ AH vuông góc với AE tại A(H thuộc CD)

hai tam giác AHD và tam giác AEB đồng dạng(g-g)(tự cm nha)

có tỉ số đồng dạng là 1/2

do đó AH=AE/2

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

\(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AF^2}\\ \dfrac{1}{\dfrac{1}{4}AB^2}=\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}AE^2}\\ \dfrac{4}{AB^2}=\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{4}{AE}^2\\ \dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{4AF^2}\left(đpcm\right)\)

dựng đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt BC tại M.Khi đó ta có tam giác AME vuông tại A có AB là đường cao ứng với cạnh huyền nên theo hệ thức lượng trong tam giác ta có 
1/AB^2=1/AE^2 + 1/AM^2 
ta chỉ cần chứng minh AM^2= 4AF^2 hay AM=2AF là được 
muốn chứng minh điều này  chỉ cần xét 2 tam giác đồng dạng là ABM và ADF có: 
góc B=góc D=90 độ 
góc MAB=góc FAD (cùng phụ với góc BAE ) 
vậy 2 tam giác này đồng dạng với nhau(g.g) 
suy ra AM/AF=AB/AD=AB/BC=2 
từ đó suy ra đpcm là xong. 
.Chỉ cần bám sát lí thuyết là làm được.Khi mình làm một bài gì phải có sự xem xét, chẳng hạn như bầi này mình đọc lên thấy có tỉ lệ bình phương mình phải nghĩ ra hệ thức đường cao liên quan với canh góc vuông trong tam giác vuông

k mk nhé thanks bạn nhìu nhìu

mk nhanh nhất nha

Từ F kẻ đường thẳng //BC cắt AB tại M
=> AM^2 + MF^2 = AF^2 (*)
Mà MF =BC =AB/2
(*) <=> AM^2 + AB^2/4 = AF^2
=> AM^2/AF^2 + AB^2/4AF^2 =1 (**)
mà AM/AF = AB/AE
(**) => AB^2/AE^2 + AB^2/4AF^2 =1
=> 1/AB^2=1/AE^2+1/4AF^2

Từ F kẻ đường thẳng song song BC cắt AB tại M
\(\Rightarrow\) \(AM^2 + MF^2 = AF^2 \)(1)
Mà \(MF =BC =\dfrac{AB}{2}\)
(1) \(\Leftrightarrow\) \(AM^2 + \dfrac{AB^2}{4} = AF^2\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AM^2}{AF^2} + \dfrac{AB^2}{4AF^2} =1\) (2)
Mà \(\dfrac{AM}{AF} = \dfrac{AB}{AE}\)
(2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB^2}{AE^2} +\dfrac{AB^2}{4AF^2} =1\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{4AF^2}\)

1. 

a) Gọi G là giao của BE và DC.

-Xét △BEF và △BCF có:

\(BE=BC\) (gt).

\(\widehat{EBF}=\widehat{CBF}\) (BF là tia phân giác của \(\widehat{EBC}\)).

\(BF\) là cạnh chung.

=>△BEF = △BCF (c-g-c).

=>\(\widehat{BEF}=\widehat{BCF}=90^0\) (2 góc tương ứng).

=>BG⊥FI tại E.

-Ta có: \(\widehat{GED}+\widehat{EGD}=90^0\) (△DEG vuông tại D).

\(\widehat{EGD}+\widehat{EFD}=90^0\) (△GEF vuông tại E).

=>\(\widehat{GED}=\widehat{EFD}\).

-Xét △GED và △EFD có:

\(\widehat{GED}=\widehat{EFD}\) (cmt)

\(\widehat{GDE}=\widehat{FED}=90^0\)

=>△GED ∼ △EFD (g-g),

=>\(\dfrac{GD}{GE}=\dfrac{ED}{EF}\) (2 tỉ lệ tương ứng) (1).

-Xét △ABE có: AB//GD (ABCD là hình chữ nhật).

=>\(\dfrac{AB}{GD}=\dfrac{BE}{GE}\) (định lí Ta-let).

=>\(\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{GD}{GE}\) (2)

-Xét △AEI có: AI//DF (ABCD là hình chữ nhật).

=>\(\dfrac{AE}{DE}=\dfrac{EI}{EF}\) (định lí Ta-let).

=>\(\dfrac{AE}{EI}=\dfrac{DE}{EF}\) (3).

-Từ (1),(2),(3) suy ra: \(\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{AE}{EI}\)

=>\(AB.EI=BE.AE\) mà \(BE=BC\) (gt)

=>\(AB.EI=BC.AE\).

b) -Xét △ABE và △EBI có:

\(\widehat{BAE}=\widehat{BEI}=90^0\)

\(\widehat{B}\) là góc chung.

=>△ABE ∼ △EBI (g-g).

=>\(\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{EI}{BI}\) (2 tỉ lệ tương ứng).

=>\(AE=\dfrac{EI.BE}{BI}\)

=>\(AE^2=\dfrac{EI^2.BE^2}{BI^2}\)

=>\(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{BI^2}{EI^2.BE^2}\)

Mà \(BI^2=EI^2+BE^2\) (△BEI vuông tại E).

=>\(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{EI^2+BE^2}{EI^2.BE^2}=\dfrac{1}{BE^2}+\dfrac{1}{EI^2}\)

2)

a) -Ta có: \(\widehat{BMD}+\widehat{DME}+\widehat{CME}=180^0\)

\(\widehat{DBM}+\widehat{DMB}+\widehat{BDM}=180^0\) (tổng 3 góc trong △BDM).

Mà\(\widehat{DME}=\widehat{DBM}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CME}=\widehat{BDM}\).

-Xét △BDM và △CME có:

\(\widehat{BDM}=\widehat{CME}\) (cmt).

\(\widehat{DBM}=\widehat{MCE}\) (△ABC cân tại A).

\(\Rightarrow\)△BDM ∼ △CME (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{CM}{CE}\) (2 tỉ lệ tương ứng).

Mà \(BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\) (M là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{\dfrac{1}{2}BC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC}{CE}\)

\(\Rightarrow BD.CE=\dfrac{1}{4}BC^2\).

b) -Ta có: \(\dfrac{BD}{CM}=\dfrac{DM}{ME}\) (△BDM ∼ △CME)

Mà  \(BM=CM\) (M là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{DM}{ME}\)

-Xét △BDM và △MDE có:

\(\widehat{DBM}=\widehat{DME}\left(gt\right)\)

\(\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{DM}{ME}\) (cmt).

\(\Rightarrow\)△BDM ∼ △MDE (c-g-c).

\(\Rightarrow\widehat{BDM}=\widehat{MDE}\) (2 góc tương ứng) hay DM là phân giác của \(\widehat{BDE}\).