Xin lỗi lúc này do thày nhìn nhầm nên nghĩ câu 2 sai đề. Để đền bù thiệt hại, xin giải lại cả hai bài cho em

Cả hai bài toán này đều sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz. Em xem link dưới đây để biết rõ hơn: http://olm.vn/hoi-dap/question/174274.html

Câu 1. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có

\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ac}+\frac{c}{2c^2+ab}=\frac{1}{2a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{2b+\frac{ca}{b}}+\frac{1}{2c+\frac{ab}{c}}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)+\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}}=\frac{9abc}{2abc\left(a+b+c\right)+\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)

\(=\frac{9abc}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{9abc}{9}=abc.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 2.  Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz

\(\frac{8}{2a+b}=\frac{4}{a+\frac{b}{2}}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{b}{2}}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}.\)

Tương tự, \(\frac{48}{3b+2c}=\frac{16}{b+\frac{2c}{3}}\le4\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{\frac{2c}{3}}\right)=\frac{4}{b}+\frac{6}{c},\) và \(\frac{12}{c+3a}=\frac{4}{\frac{c}{3}+a}\le\frac{1}{\frac{c}{3}}+\frac{1}{a}=\frac{3}{c}+\frac{1}{a}.\)

Cộng ba bất đẳng thức lại ta được

\(\frac{8}{2a+b}+\frac{48}{3b+2c}+\frac{12}{c+3a}\le\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)+\left(\frac{4}{b}+\frac{6}{c}\right)+\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2}{a}+\frac{6}{b}+\frac{9}{c}.\)    (ĐPCM).

\(P=\sum\frac{ab}{c+a+b+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ac+ab}{b+c}+\frac{bc+ab}{a+c}\right)=\frac{12}{4}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=4\)

tuổi con HN là :

50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )

tuổi bố HN là :

50 - 10 = 40 ( tuổi )

hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi

ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|

                  con : |----| hiệu 30 tuổi

tuổi con khi đó là :

 30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )

số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :

 15 - 10 = 5 ( năm )

       ĐS : 5 năm

mình nha

schur à

ra rồi khỏi

Đặt p = a+b+c           q = ab+bc+ca           r = abc

Bđt cần cm tương đương 

\(r+\frac{12}{q}\ge5\)

\(\Leftrightarrow9r+\frac{108}{q}\ge45\left(1\right)\)

Ta cm đc bđt từ Schur và biến đổi tương đương  :    \(p^3+9r\ge4pq\) 

\(\Leftrightarrow9r\ge4pq-p^3=12q-3^3=12q-27\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow9r+\frac{108}{q}\ge12q-27+\frac{108}{q}\)

Ta cần cm :  \(12q-27+\frac{108}{q}\ge45\)

\(\Leftrightarrow12q+\frac{108}{q}\ge72\)( bđt đùng vì cô si)

Ta có: \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow12\le a^2+b^2+c^2\forall a,b,c\)

Đặt \(T=a^4+b^4+c^4\)\(=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left[\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\right]\)

\(\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=12^2=144\)

\(\Leftrightarrow3T\ge144\Leftrightarrow T\ge48\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\pm2\)

Vậy với \(a=b=c=\pm2\) thì \(T_{Min}=48\)