Question

Cho ba số a,b,c thỏa mãn: ab+bc+ac=12

Vậy giá trị nhỏ nhất của a^4+b^4+c^4

Answer 1

Ta có: \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow12\le a^2+b^2+c^2\forall a,b,c\)

Đặt \(T=a^4+b^4+c^4\)\(=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left[\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\right]\)

\(\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=12^2=144\)

\(\Leftrightarrow3T\ge144\Leftrightarrow T\ge48\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\pm2\)

Vậy với \(a=b=c=\pm2\) thì \(T_{Min}=48\)