Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc
Các bạn giải gấp cho mình nha . Mình đag cần rất gấp .
Cho a-b-c=2
Tính M=a3−b3−c3−3abc(a+b)2+(b−c)2+(c+a)2
Giúp mình nhé mình đang cần gấp. Thanks các bạn!
Các bạn giúp mình bài này với
Chứng minh: nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+c^3-(3a^2b+3ab^2+3abc)
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-bc-ac)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
Thay a + b + c = 0, ta có:
0(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=0
Vậy nếu a + b + c = 0 thì a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
Theo bài ra, ta có: a+b+c
Suy ra: 3(a+b+c)-3abc=0
Suy ra: -3abc=0
Tương đương: -3*(b+c)*(a+c)*(a+b)=0
Tương đương: -3* a^2+b^2+c^2=0
Tương đương: -3*0=0
Suy ra: nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3-3abc=0(đpcm)
Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng a3 +b3 +c3 >=3abc.
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0\)(vì a+b+c>0)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2>=0\)(luôn đúng)
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)
Vì \(a,b,c>0\Leftrightarrow a+b+c>0\)
Lại có \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
Nhân vế theo vế ta được đpcm
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
⇔a3+b3+c3−3abc>=0⇔a3+b3+c3−3abc>=0
⇔(a+b)3+c3−3ab(a+b)−3abc>=0⇔(a+b)3+c3−3ab(a+b)−3abc>=0
⇔(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)>=0⇔(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)>=0
⇔2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac>=0⇔2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac>=0(vì a+b+c>0)
⇔(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2>=0⇔(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2>=0(luôn đúng)
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc.
a3+b3+c3= (a+b)3-3ab(a+b)+c3
Thay a+b=-c vào, ta được:
a3 + b3 +c3 = (-c)3 -3ab(-c) +c3 = 3abc (đpcm)
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác , chứng minh :
a3+b3+c3+2abc < a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2) < a3+b3+c3+3abc
mình cần gấp lắm , mn giúp mình với
Cho a + b + c = 0. Chứng minh : (a2 + b2 + c2 )/2 * (a3 + b3 + c3 )/3 = (a5 + b5 + c5 )/5. Nhanh lên mọi người. Mik rất cần gấp !!!!
1) Cho a + b - c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 - c3 = -3abc
2) Cho a - b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 - b3 + c3 = -3abc
Các bạn giải gấp cho mình 2 câu này nha . Mình đag cần gấp .
1 ) Ta có :
\(a+b-c=0\Leftrightarrow a+b=c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=a^3+b^3-\left(a+b\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=a^3+b^3-3a^2b-3b^2a-b^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=-3a^2b-3b^2a\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=-3abc\left(đpcm\right)\)
2 ) Ta có :
\(a-b+c=0\Leftrightarrow c=b-a\Leftrightarrow c^3=\left(b-a\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=a^3-b^3+\left(b-a\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=a^3-b^3+b^3-3a^2b+3b^2a-a^3\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=-3a^2b+3b^2a\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=-3ab\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=3ab\left(b-a\right)\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=3abc\left(đpcm\right)\)
1 ) Bổ sung dấu \(\Rightarrow\) thứ 2 :
\(\Rightarrow...=a^3+b^3-a^3-3a^2b-3b^2a-b^3\)
Làm lại 2) :
\(a-b+c=0\Leftrightarrow c=b-a\Leftrightarrow c^3=\left(b-a\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=a^3-b^3+\left(b-a\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=a^3-b^3+b^3-3b^2a+3ab^2-a^3\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=-3b^2a+3ab^2\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=-3ab\left(b-a\right)=-3abc\left(đpcm\right)\)
Cho a + b + c = 0. Chứng minh a 3 + b 3 + c 3 = 3 a b c
+) Ta có: a 3 + b 3 = a + b 3 - 3 a b a + b
Thật vậy, VP = a + b 3 – 3ab (a + b)
= a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 - 3 a 2 b - 3 a b 2
= a 3 + b 3 = VT
Nên a 3 + b 3 + c 3 = a + b 3 - 3 a b a + b + c 3 (1)
Ta có: a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c (2)
Thay (2) vào (1) ta có:
a 3 + b 3 + c 3 = - c 3 - 3 a b - c + c 3 = - c 3 + 3 a b c + c 3 = 3 a b c
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
cm : a3 + b3 + 3abc > c3
Mình đang cần gấp ạ!
\(a^3+b^3+3abc>c^3\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3-c^3+3abc>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b\right)+3abc>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)\left(a^2+2ab+b^2+ac+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\right)>0\)
\(a,\)\(b,\)\(c\) là 3 cạnh tam giác
\(\Rightarrow\)\(a+b-c>0\)(BĐT tam giác)
\(a^2+b^2+c^2+Ab+ac+bc>0\) do a,b,c >0
suy ra: \(\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac\right)>0\)
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3-c^3+3abc>0\)
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+3abc>c^3\)
P/S: phần BĐT mk trình bày kém, mong các bn giúp đỡ
Trong một tam giác thì: a + b > c
=> (a + b)3 > c3
<=> a3 + b3 + 3ab(a + b) > c3
mà a + b > c => 3ab(a + b) > 3abc
=> a3 + b3 + 3ab(a + b) > a3 + b3 + 3abc > c3