Ta thấy : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Ta có :\(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)là tích 5 số tự nhiên liên tiếp :

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(5\)và cũng \(⋮\)\(6\)( cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp )

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(1\right)\)

Ta lại có : \(5\)\(⋮\)\(5\)và \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(6\)

\(\Rightarrow5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)

Hay \(a^5-a\)\(⋮\)\(30\)

Tương tự \(b^5-b\)và \(c^5-c\)cũng chia hết cho 30 

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)\)\(⋮\)\(30\)

Mà \(a+b+c\)\(⋮\)\(30\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\)\(⋮\)\(30\)\(\left(đpcm\right)\)

a⁵ - n = a(a⁴ - 1 )= a(a - 1)(a + 1)(a² +1) 
Xét a(a-1)là 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

(n+1)n(n-1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 
Mà (2;3) = 1 => chia hết cho 6 
Lại xét :
a = 5k => tích trên chia hết cho 5 
a = 5k+1 => a - 1 = 5k chia hết cho 5 
a = 5k+2 => a² + 1 = (5k + 2)² + 1 = 25k² + 5 chia hết cho 5 
a = 5k+3 => a² + 1 = (5k + 3)² + 1 = 25k² + 10 chia hết cho 5 
a = 5k+4 => a + 1 = 5k + 5 chia hết cho 5 
Mà (6; 5) = 1.

Vậy a⁵ - a chia hết cho 30 với mọi a \(\in\) Z

các bạn giúp đi mình k cho!!!!!!

BÀi 1: (ab-1)^2+(a+b)^2

=a^2b^2 -2ab+1+a^2+2ab+b^2

=a^2b^2 +a^2 +b^2+1

= a^2(b^2+1) +(b^2+1)

=(a^2 +1)(b^2 +1)   MÀ a,b thuộc N* , a^2+1>= 0 với mọi a,     b^2+1>= 0 với mọi b

Vậy x là hợp số

Vì a+b+c=0 nên

\(a^5+b^5+c^5=a^5+b^5+c^5-a-b-c\)

= \(a\left(a^4-1\right)+b\left(b^4-1\right)+c\left(c^4-1\right)\)

Lại có :

\(a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)

= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)

Vì : \(a\left(a+1\right)\) là tích của 2 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3

\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)là tích của 3 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3

\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)là tích của 5 số thực liên tiếp nên chia hết cho 5

Mà (2,3,5) = 1 nên \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)chia hết cho 2.3.5=30

Suy ra \(a^5-a\) chia hết cho 30

Cmtt ta được \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 30

Suy ra \(a^5+b^5+c^5-a-b-c\) chia hết cho 30 hay

\(a^5+b^5+c^5\) chia hết cho 30 khi a+b+c = 0

CMR : a)n(n^2+12)+(2_ngày)(n^2_3n+1)(n^2_3n+1)+8 chia hết cho 5 với mọi n thuộc Z

b)n^5_n chia hết cho 30

Ta có: 30=5.6, mà (5;6)=1 nên ta chứng minh n⁵-n chia hết cho 5 và 6

+) n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²-4+5)=n(n-1)(n+1)(n²-4)+5n(n-1)(n+1)

                                                                                  =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1)

   Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5

        5n(n-1)(n+1) chia hết cho 5

    => n⁵-n chia hết cho 5              (1)

+) n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²+1)

                                                =(n-1)n(n+1)(n²+1)

Vì (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

=> (n-1)n(n+1)(n²+1) chai hết cho 6

=> n⁵-n chia hết cho 6                       (2)

  Từ (1) và (2) => n⁵-n chia hết cho 30

               Vậy n⁵-n chia hết cho 30   (đpcm)       

a) Áp dụng định lí nhỏ Fermat vào biểu thức \(n^5-n\), ta được:

\(n^5-n⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n⋮2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)

Vì n-1; n và n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)

mà \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)(cmt)

và ƯCLN(2;3)=1

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\cdot3\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)⋮6\)

hay \(n^5-n⋮6\)

mà \(n^5-n⋮5\)(cmt)

và ƯCLN(6;5)=1

nên \(n^5-n⋮6\cdot5\)

hay \(n^5-n⋮30\)(đpcm)