Violympic toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nii-chan

CMR:

a) n5 - n chia hết cho 30 với n thuộc N

b) n4-10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ, n thuộc Z

Nguyễn Lê Phước Thịnh
23 tháng 7 2020 lúc 21:04

a) Áp dụng định lí nhỏ Fermat vào biểu thức \(n^5-n\), ta được:

\(n^5-n⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n⋮2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)

Vì n-1; n và n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)

\(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)(cmt)

và ƯCLN(2;3)=1

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\cdot3\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)⋮6\)

hay \(n^5-n⋮6\)

\(n^5-n⋮5\)(cmt)

và ƯCLN(6;5)=1

nên \(n^5-n⋮6\cdot5\)

hay \(n^5-n⋮30\)(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Fatasio
Xem chi tiết
Boy lạnh lùng
Xem chi tiết
Roxie2k7
Xem chi tiết
Nguyễn Kim Thành
Xem chi tiết
Nii-chan
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Ngân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Linh
Xem chi tiết
Phạm Thị Thanh Thanh
Xem chi tiết