Gọi giao điểm của AJ với BC , BK với AC, CL với AB lần lượt là M, N, P

+) Từ B, C kẻ đường vuông góc với AM  lần lượt tại Q, R

Xét tam giác ADJ và tam giác CAR

có: \(\widehat{J_1}=\widehat{R_1}\left(=90^o\right)\)

AD= AC ( ACED là hình vuông)

\(\widehat{A_2}=\widehat{D_1}\)( cùng phụ góc \(\widehat{A_1}\))

=> \(\Delta ADJ=\Delta CAR\)( cạnh huyền góc nhọn)

=> AJ=CR (1)

Chứng minh tương tự : \(\Delta AIJ=\Delta BAQ\)

=> AJ= BQ (2)

Từ (1), (2) => CR=BQ

Ta  lại có: BQ//CR ( cùng vuông góc với AM)

=> \(\frac{CM}{BM}=\frac{BQ}{CR}=1\) ( vì CR =BQ, chứng minh trên)

=> CM=BM

=> M là trung điểm BC

+) Chứng minh tương tự ta được: N là trung điểm AC và P là trung điểm AB

=> AM, CP, BN là 3 đường trung tuyến của tam giác ABC đồng quy

=> AJ, BK; CL đồng quy

a. Xét hai tam giác BNA và CLA, ta có:

∠ BNA =  ∠ CLA =  90 °

góc A chung

Suy ra ∆ BNA đồng dạng  ∆ CLA (g.g)

Suy ra: AL/AN = AC/AB ⇒ AL/AC = AN/AB

Xét hai tam giác ABC và ANL, ta có:

AL/AC = AN/AB

góc A chung

Suy ra ∆ ABC đồng dạng  ∆ ANL (c.g.c)

Bạn tham khảo nhé!

ABN vuông tại N nên AN = AB.cosB     (1)

∆ BCL vuông tại L nên BL = BC.cosB     (2)

∆ ACM vuông tại M nên CM = AC.cosC     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AN.BL.CM = AB.BC.CA. cosA cosB cosC

Vì  ∆ ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC.

Vì  ∆ ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC.

Tứ giác BIHL nội tiếp.

Tứ giác CIHK nội tiếp.

Từ (1), (2) suy ra: