Chứng minh rằng :
\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}^{ }\)
Những câu hỏi liên quan
chứng minh rằng:
\(-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\le\dfrac{1}{2}\)
Chứng minh rằng: \(\dfrac{-1}{2}\le\dfrac{\left(a+1\right)\left(1-ab\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\le\dfrac{1}{2}\)
Chứng minh rằng: -\(\dfrac{1}{2}\)\(\le\)\(\dfrac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)\(\le\)\(\dfrac{1}{2}\)
Choa,b là hai số thực dương thoả mãn (2a-1)(2b-1)=1 Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^4+b^2\left(1+2a\right)}+\dfrac{1}{b^4+a^2\left(1+2B\right)}\le\dfrac{1}{2}.\)
Cho các số thực dương : a;b;c thỏa mãn điều kiện : ab+bc+ac+abc4Chứng minh rằng : dfrac{1}{sqrt{2.left(a^2+b^2right)}+4}+dfrac{1}{sqrt{2.left(b^2+c^2right)}+4}+dfrac{1}{sqrt{2.left(c^2+a^2right)}+4}ledfrac{1}{2}P/s: Em xin phép nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán. Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Đọc tiếp
Cho các số thực dương : \(a;b;c\) thỏa mãn điều kiện : \(ab+bc+ac+abc=4\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(a^2+b^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(b^2+c^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{2}\)
P/s: Em xin phép nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán.
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Dễ dàng c/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)
Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{a+b+4}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đúng 3
Bình luận (1)
Bài 1: a;b;c > 0
Chứng minh : \(\dfrac{a}{3a+b+c}+\dfrac{b}{3b+a+c}+\dfrac{c}{3c+a+b}\le\dfrac{3}{5}\)
Bài 2: x;y;z \(\ne\) 1 và xyz = 1
Chứng minh : \(\dfrac{x^2}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(y-1\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(z-1\right)^2}\ge1\)
1.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{a}{2a+a+b+c}=\dfrac{a}{25}.\dfrac{\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\dfrac{a}{25}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{3^2}{a+b+c}\right)=\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a}{a+b+c}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b}{3b+a+c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{a+b+3c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{c}{a+b+c}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{6}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=\dfrac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 3
Bình luận (0)
2.
Đặt \(\dfrac{x}{x-1}=a;\dfrac{y}{y-1}=b;\dfrac{z}{z-1}=c\)
Ta có: \(\dfrac{x}{x-1}=a\Rightarrow x=ax-a\Rightarrow a=x\left(a-1\right)\Rightarrow x=\dfrac{a}{a-1}\)
Tương tự ta có: \(y=\dfrac{b}{b-1}\) ; \(z=\dfrac{c}{c-1}\)
Biến đổi giả thiết:
\(xyz=1\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=1\)
\(\Rightarrow abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=a+b+c-1\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(a^2+b^2+c^2\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(a+b+c-1\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{1+b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\dfrac{1}{abc}\)
Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{a+c}\le\dfrac{3.\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\right]\left(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\right)\le6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Giả sử \(a\ge b\ge c\) thì \(a+b\ge a+c\ge b+c\) (**)
Và \(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\ge\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\)(*)
Ta sẽ chứng minh (*) : \(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\Leftrightarrow ab\left(b-a\right)+ac\left(a-c\right)+bc\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left[bc+a\left(b+c-a\right)\right]\ge0\)( đúng khi a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác )
Tương tự :\(\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\ge\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\)
Từ (**) và (*) , Áp dụng BĐT chebyshev:( 2 dãy cùng chiều)
\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\right)=6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
Đúng 0
Bình luận (5)
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có :
1) \(\dfrac{r}{R}\le\dfrac{1}{2}\)
2) \(\dfrac{1}{2Rr}\le\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le\dfrac{1}{4r^2}\)
3) \(m_a.m_b.m_c\ge\sqrt{p.S}\)
4) \(a^2\left(p-a\right)+b^2\left(p-b\right)+c^2\left(p-c\right)\ge\dfrac{3r}{2R}abc\)