Cho 2 đường tròn O và O' ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB, CD (A,C thuộc đường tròn O; B,D thuộc đường tròn O'). TIếp tuyến chung trong MN cắt AB và CD theo E và F (M thuộc O, N thuộc O')
a. AB=EF
b. EM=FN
Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (Ạ và C thuộc (O), B và D thuộc (O')). Tiếp tuyến chung trong MN cắt AB và CD theo thứ tự là E và F (M thuộc (O), N thuộc (O')). Chứng minh:
a, AB = EF
b, EM = FN
a, Ta có AB = AE + BE = EM + EN
Và CD = FD + FC = NF + NE
=> AB + CD = 2EF => AB = EF
b, Ta có EM = AB – EB = EF – EN = NF
Cho 2 đường tròn (O)và (O') ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF ( A,E thuộc đường tròn(O); B,F thuộc đường tròn (O')). M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh:
a, Tam giác AOM đồng dạng với tam giác BMO'
b, AE vuông góc với BF
c, Gọi N llaf giao điểm của AE và BF. Chứng minh: 3 điểm O,N,O' thẳng hàng
cho đường tròn (O) và (O') ngoài nhau. kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB của 2 đường tròn (A thuộc (O), B thuộc (O')). vẽ các tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn lần lượt cắt AB tại C và D. CMR AC = BD
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) ở ngoài nhau. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài, EF là tiếp tuyến chung trong (M và E thuộc (O), N và F thuộc (O')). Tính bán kính của đường tròn (O) và (O') trong các trường họp sau:
a, OO' = 10 cm, MN = 8cm và EF = 6 cm
b, OO' = 13 cm, MN = 12 cm và EF = 5 cm
a, Kẻ O'H ⊥ OM; OK ⊥ O'F
có OH = R – r; O’K = R + r
Mà O H 2 = O O ' 2 - M N 2 = 36
O ' K 2 = O O ' 2 - E F 2 = 64
=> OH = 6 và O'K = 8
=> R = 7cm và r = 1cm
b, R = 17 2 cm và r = 7 2 cm
Cho hai đường tròn (O,R)và (O`,r) tiếp xúc ngoài tại A kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE của (O)và (O`), D€(O),E€(O')tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài DE ở I
a,tính số đo góc OIO'.
b, chứng minh OO' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
c, tính độ dài DE theo R và r
a: Xét (O) có
ID,IA là các tiếp tuyến
Do đó: IO là phân giác của góc DIA
=>\(\widehat{DIA}=2\cdot\widehat{OIA}\)
Xét (O') có
IA,IE là các tiếp tuyến
Do đó: IO' là phân giác của góc AIE
=>\(\widehat{AIE}=2\cdot\widehat{AIO'}\)
Ta có: \(\widehat{DIA}+\widehat{EIA}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\left(\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{OIO'}=180^0\)
=>\(\widehat{OIO'}=90^0\)
b: Xét (O) có
ID,IA là các tiếp tuyến
Do đó: ID=IA
Xét (O') có
IA,IE là các tiếp tuyến
Do đó: IA=IE
Ta có: IA=IE
ID=IA
Do đó: ID=IE
=>I là trung điểm của DE
=>I là tâm đường tròn đường kính DE
Xét ΔDAE có
AI là bán kính
\(AI=\dfrac{DE}{2}\)
Do đó: ΔADE vuông tại A
=>A nằm trên (I)
Xét (I) có
IA là bán kính
O'O\(\perp\)IA tại A
Do đó: OO' là tiếp tuyến của (I)
=>O'O là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
Cho hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại H. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB, điểm A thuộc tâm O và B thuộc tâm O’ . Tiếp tuyến chung trong tại H cắt tiếp tuyến chung ngoài AB tại M a, Chứng minh rằng góc AHB bằng 90° b, Tính góc OMO’ c, Tính AB biết OH=9cm ,O’H =4cm
Cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D thuộc (O), E thuộc (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt ED tại I. Gọi M là giao điểm của OI với AD, N giao điểm AE với O’I.
a) Tứ giác AMIN là hình gì? Tại sao?
b) CM hệ thức IM.IO = IN.IO’
c) CM OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
d) Tính độ dài DE theo R và R’.
a) Xét (O): AI và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I (gt)
=> AI = DI (TC 2 tiếp tuyến cắt nhau)
CMTT: AI = EI (TC 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=> AI = EI = DI
Mà DE = EI + DI
=>AI = EI = DI =\(\dfrac{DE}{2}\)
Xét tam giác ADE có: AI = EI = DI =\(\dfrac{DE}{2}\)(cmt)
=> Tam giác ADE vuông tại A (định lý đảo đường trung tuyến trong tam giác vuông)
=> ^MAN = 90o
Xét tam giác AID: AI = DI (cmt) => Tam giác AID cân tại I
Mà IM là đường phân giác AID (AI và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I)
=> IM là đường cao
=> ^IMA = 90o
CMTT: ^ANI = 90o
Xét TG AMIN:
^IMA = 90o (cmt)
^ANI = 90o (cmt)
^MAN = 90o (cmt)
=> AMIN là hình chữ nhật (dhnb)
b) Xét tam giác OAI vuông tại A, AM là đường cao ( do AM vg góc OI)
=> IM.IO = IA2 (HTL) (1)
Xét tam giác O'AI vuông tại A, AN là đường cao ( do AN vg góc O'I)
=> IN.IO' = IA2 (HTL) (2)
Từ (1) và (2) => IM.IO = IN.IO’ (đpcm)
c) Xét (O) và (O'): 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A (cmt)
=> A \(\in\)OO' (TC đường nối tâm)
mà IA vg góc AO (do AI là tiếp tuyến trong của 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A )
=> OO' vg góc AI tại A (*)
Xét tam giác ADE vuông tại A (^DAE = 90o do AMIN là hcn)
I là TĐ của DE (do ID = IE = \(\dfrac{DE}{2}\))
=> I là tâm đường tròn đường kính DE, nội tiếp tam giác ADE
=> A \(\in\)(I) (**)
Từ (*) và (**) => OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE có A là tiếp điểm.
d) Xét tg OIO' vuông tại I, AI là đường cao:
AI2 = AO . AO' (HTL)
=> AI2= R. R'
Mà AI = \(\dfrac{DE}{2}\)(cmt)
=> (\(\dfrac{DE}{2}\))2 = R . R'
<=> \(\dfrac{DE^2}{4}\) = R . R'
<=> DE = 2\(\sqrt{R.R'}\)
Cho hai đường tròn (O; 9cm) và (O' 4cm) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.Tính BC
