a: Xét ΔADC có

M là trung điểm của DA
E là trung điểm của DC

Do đó ME là đường trung bình

=>ME//AC và ME=AC/2(1)

Xét ΔBDC có

E là trung điểm của DC
N là trung điểm của BC

Do đó: EN là đường trung bình

=>EN=BD/2(2)

Từ (1) và (2) và AC=BD suy ra EM=EN

hay góc EMN=góc ENM

b: Gọi l là trung điểm của BD

Xét ΔDAB có

M là trung điểm của DA

I là trung điểm của DB

DO đó: MI là đường trung bình

=>MI//AB và MI=AB/2

Xét ΔBDC có

I là trung điểm của BD

N là trung điểm của bC

Do đó: IN là đường trung bình

=>IN//DC và IN=DC/2

=>MN<=(AB+CD)/2

c: Nếu MN=(AB+CD)/2 thìMN=MI+IN

=>M,I,N thẳng hàng

=>AB//CD

Sử dụng đường trung bình, ta có: KN = 1/2 AB, NI = 1/2 CD , IM = 1/2 AB , MK = 1/2 CD

Mà AB = CD (gt)

\(\Rightarrow KN=NI=IM=MK\)

\(\Rightarrow KNIM\)là hình thoi

Do đó: MN là tia phân giác của \(\widehat{IMK}\)(tính chất hình thoi)

Chúc bạn học tốt.

Nối BD. Gọi O là trung điểm DB
Xét tam giác ABD
Có: M là trung điểm AB ( gt)
O là trung điểm DB ( cách lấy O)
\(\Rightarrow\) OM là đường trung bình  ABD
\(\Rightarrow\)OM // AD, OM = \(\frac{1}{2}\) AD ( đl)
\(\Rightarrow\)góc AEM = OMN ( 2 góc đồng vị) (1)
Tương tự ta chứng minh được ON là đường trung bình tam giác DBC
\(\Rightarrow\) ON // BC; BC
\(\Rightarrow\)góc OMN = MFB ( 2 góc so le trong) (2)
Mà AD = Bc (gt)
\(\Rightarrow\)OM=ON ( \(\frac{1}{2}\)AD)
Xét OMN
có OM = ON
\(\Rightarrow\) Tam giác OMN cân tại O ( đn)
\(\Rightarrow\) góc OMN = ONM ( đl) (3)
Từ (1); (2); (3) \Rightarrow góc AEM = MFB ( đpc/m)

cho xin cái hình

An Nhiên ơi .bạn sai ở 1 chỗ  ở hàng thứ 8 từ dưới lên là

góc ONM chứ kp góc OMN

Nhưng mik cx k đúng cho bn r

Ta cần chứng minh 

Theo giả thiết ta có:

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: EN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: EN//BC và \(EN=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có

M là trung điểm của BD

F là trung điểm của CD

Do đó: MF là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: MF//BC và \(MF=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB

M là trung điểm của BD

Do đó: EM là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: \(EM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2}\left(3\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra EN//MF và EN=MF

Từ (1) và (3) suy ra EN=EM

Xét tứ giác ENFM có

EN//MF

EN=MF

Do đó: ENFM là hình bình hành

mà EN=EM

nên ENFM là hình thoi