Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi M, E, N lần lượt là trung điểm của AD, DC và BC.
a) Chứng minh \(\widehat{EMN}=\widehat{ENM}\)
b) Chứng minh \(MN\le\dfrac{AB+CD}{2}\)
c) Chứng minh nếu \(MN=\dfrac{AB+CD}{2}\) thì ABCD là hình thang.
( Lưu ý : Không được sử dụng kiến thức về đường trung bình của hình thang, chỉ sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác )
a: Xét ΔADC có
M là trung điểm của DA
E là trung điểm của DC
Do đó ME là đường trung bình
=>ME//AC và ME=AC/2(1)
Xét ΔBDC có
E là trung điểm của DC
N là trung điểm của BC
Do đó: EN là đường trung bình
=>EN=BD/2(2)
Từ (1) và (2) và AC=BD suy ra EM=EN
hay góc EMN=góc ENM
b: Gọi l là trung điểm của BD
Xét ΔDAB có
M là trung điểm của DA
I là trung điểm của DB
DO đó: MI là đường trung bình
=>MI//AB và MI=AB/2
Xét ΔBDC có
I là trung điểm của BD
N là trung điểm của bC
Do đó: IN là đường trung bình
=>IN//DC và IN=DC/2
=>MN<=(AB+CD)/2
c: Nếu MN=(AB+CD)/2 thìMN=MI+IN
=>M,I,N thẳng hàng
=>AB//CD
