Câu 1 : Cho các số a,b,c,d thỏa mãn abcd = 1 . Tính giá trị của biểu thức
\(M=\dfrac{1}{abc+ab+a+1}+\dfrac{1}{bcd+bc+b+1}+\dfrac{1}{acb+cd+c+1}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\)
1. Cho a, b, c, d thỏa mãn: abcd=1.
Tính gía trị biểu thức:
M= \(\dfrac{a}{abc+ab+a+1}+\dfrac{b}{bcd+bc+b+1}+\dfrac{c}{cda+cd+1}+\dfrac{d}{dab+da+d+1}\)
2. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn: 0 ≤a, b, c, d ≤1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
N\(=\dfrac{a}{bcd+1}+\dfrac{b}{cda+1}+\dfrac{c}{dab+1}+\dfrac{d}{abc+1}\)
3. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: \(AB.BP+AC.CN=BC^2\)
b) Cho B, C cố định A thay đổi. Tìm vị trí điểm A để: MH,MA đạt max ?
c) Gọi S,S1,S2,S3 lần luợt là diện tích các tam giác ABC, APN, BMP, CMN.
Chứng minh: \(S_1.S_2.S_3\) ≤ \(\dfrac{1}{64}S_3\)
Bài 1: Ta có:
\(M=\frac{ad}{abcd+abd+ad+d}+\frac{bad}{bcd.ad+bc.ad+bad+ad}+\frac{c.abd}{cda.abd+cd.abd+cabd+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
\(=\frac{ad}{1+abd+ad+d}+\frac{bad}{d+1+bad+ad}+\frac{1}{ad+d+1+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
$=\frac{ad+abd+1+d}{ad+abd+1+d}=1$
Bài 2:
Vì $a,b,c,d\in [0;1]$ nên
\(N\leq \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{abcd+1}+\frac{c}{abcd+1}+\frac{d}{abcd+1}=\frac{a+b+c+d}{abcd+1}\)
Ta cũng có:
$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$
Tương tự:
$c+d\leq cd+1$
$(ab-1)(cd-1)\geq 0\Rightarrow ab+cd\leq abcd+1$
Cộng 3 BĐT trên lại và thu gọn thì $a+b+c+d\leq abcd+3$
$\Rightarrow N\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}=\frac{3(abcd+1)-2abcd}{abcd+1}$
$=3-\frac{2abcd}{abcd+1}\leq 3$
Vậy $N_{\max}=3$
3.
Hình vẽ:
Lời giải:
a) △AMC và △BNC có: \(\widehat{AMC}=\widehat{BNC}=90^0;\widehat{ACB}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△AMC∼△BNC (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CM}{CN}\Rightarrow AC.CN=BC.CM\left(1\right)\)
b) △AMB và △CPB có: \(\widehat{AMB}=\widehat{CPB}=90^0;\widehat{ABC}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△AMB∼△CPB (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BM}{BP}\Rightarrow AB.BP=BC.BM\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(AC.CN+AB.BP=BC.CM+BC.BM=BC.\left(CM+BM\right)=BC.BC=BC^2\left(đpcm\right)\)b) Gọi \(M_0\) là trung điểm BC, giả sử \(AB< AC\).
\(\widehat{HBM}=90^0-\widehat{BHM}=90^0-\widehat{AHN}=\widehat{CAM}\)
△HBM và △CAM có: \(\widehat{HBM}=\widehat{CAM};\widehat{HMB}=\widehat{CMA}=90^0\)
\(\Rightarrow\)△HBM∼△CAM (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{MH}{CM}=\dfrac{BM}{MA}\Rightarrow MH.MA=BM.CM\)
Ta có: \(BM.CM=\left(BM_0-MM_0\right)\left(CM_0+MM_0\right)=\left(BM_0-MM_0\right)\left(BM_0+MM_0\right)=BM_0^2-MM_0^2\le BM_0^2=\dfrac{BC^2}{4}\)
\(\Rightarrow MH.MA\le\dfrac{BC^2}{4}\).
Vì \(BC\) không đổi nên: \(max\left(MH.MA\right)=\dfrac{BC^2}{4}\), đạt được khi △ABC cân tại A hay A nằm trên đường trung trực của BC.
c) Sửa đề: \(S_1.S_2.S_3\le\dfrac{1}{64}.S^3\)
△AMC∼△BNC \(\Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{MC}{NC}\Rightarrow\dfrac{AC}{MC}=\dfrac{BC}{NC}\)
△ABC và △MNC có: \(\dfrac{AC}{MC}=\dfrac{BC}{NC};\widehat{ACB}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△ABC∼△MNC (c-g-c)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{MNC}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{MC}{AC}.\dfrac{NC}{BC}\left(1\right)\)
Tương tự:
△ABC∼△MBP \(\Rightarrow\dfrac{S_{MBP}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_2}{S}=\dfrac{MB}{AB}.\dfrac{BP}{BC}\left(2\right)\)
△ABC∼△ANP \(\Rightarrow\dfrac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_3}{S}=\dfrac{AN}{AB}.\dfrac{AP}{AC}\left(3\right)\)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
\(\dfrac{S_1}{S}.\dfrac{S_2}{S}.\dfrac{S_3}{S}=\left(\dfrac{MC}{AC}.\dfrac{NC}{BC}\right).\left(\dfrac{MB}{AB}.\dfrac{BP}{BC}\right).\left(\dfrac{AN}{AB}.\dfrac{AP}{AC}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_1}{S}.\dfrac{S_2}{S}.\dfrac{S_3}{S}=\left(\dfrac{MC.MB}{AC.AB}\right).\left(\dfrac{BP.AP}{AC.BC}\right).\left(\dfrac{AN.CN}{AB.BC}\right)\) (*)
Áp dụng câu b) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BM.CM\le\dfrac{1}{4}BC^2\\AP.BP\le\dfrac{1}{4}AB^2\\AN.CN\le\dfrac{1}{4}AC^2\end{matrix}\right.\)
Từ (*) suy ra:
\(\dfrac{S_1}{S}.\dfrac{S_2}{S}.\dfrac{S_3}{S}\le\left(\dfrac{\dfrac{1}{4}BC^2}{AC.AB}\right).\left(\dfrac{\dfrac{1}{4}AC^2}{AC.BC}\right).\left(\dfrac{\dfrac{1}{4}AB^2}{AB.BC}\right)=\dfrac{1}{64}\)
\(\Rightarrow S_1.S_2.S_3\le\dfrac{1}{64}.S^3\)
Dấu "=" xảy ra khi △ABC đều.
Anh chị nào làm giúp với ạ !!
Cho các số a,b,c,d thỏa mãn abcd=1 . Tính giá trị của biểu thức:
1/ (abc+ab+a+1) + 1/(bcd+bc+b) + 1/(acb + cd + c +1 ) + 1/(abd+ad+d+1)
Thay giả thiết vào biểu thức có chứa hạng tử 1 là xong
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ac\ge12,bc\ge8\). Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức:
\(D=a+b+c+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)
Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:
\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)
Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được
cho 4 số a,b,c,d thỏa mãn: abcd=4. tính giá trị biểu thức:
M=a/abc+ab+a+1 + b/ bcd+bc+b+1 +c/cda+cd+c+1 +d/dab+da+d+abc+1
Cho a,b,c thỏa mãn abcd=1. Tính giá trị biểu thức
\(M=\frac{1}{abc+ab+a+1}+\frac{1}{bcd+bc+b+1}+\frac{1}{acd+cd+c+1}+\frac{1}{abd+cd+d+1}\)
Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
\(P=\sqrt{\dfrac{a}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+ac}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+ab}}\)
Thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ hay $a+b+c=1$ vậy bạn?
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\). Tìm giá trị lớn nhất nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2}-ac+a^2}\)
cái cuối là \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\) nha
\(a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{2}{a+b}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\dfrac{1+3a}{1+b^2}+\dfrac{1+3b}{1+c^2}+\dfrac{1+3c}{1+a^2}\)
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-0-thoa-man-abbcca3-tim-gia-tri-nho-nhat-cua-pdfrac13a1b2dfrac13b1c2dfrac13c1a2.6181078378966