một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh của một góc vuông đỉnh A tại B và C. vẽ tiếp tuyến của đường tròn cắt AB, AC tại M,N . chứng minh
\(\frac{AB+AC}{3}< MB+NC< \frac{AB+AC}{2}\)
Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc vuông đỉnh A tại hai điểm B và C. Kẻ một tiếp tuyến (d) với đường tròn đã cho cắt các đoạn thẳng AB và AC theo thứ tự E và F. Chứng minh rằng:
\(\frac{AB+AC}{3}< EB+FC< \frac{AB+AC}{2}\)
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC của (O;R), (BC là các tiếp điểm).
1) Chứng minh rằng bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn;
2) Lấy điểm I trên đường tròn (O;R) sao cho tia OI nằm giữa hai tia OA và OB. Qua I vẽ đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O;R) cắt AB,AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MB+NC=MN;
3) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PM.QN=\(\frac{PQ^2}{4}\)
Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc vuông đỉnh A tại hai điểm B và C. Kẻ một tiếp tuyến (d) với đường tròn đã cho cắt các đoạn thẳng AB và AC theo thứ tự E và F. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{AB+AC}{3}< EB+FC< \dfrac{AB+AC}{2}\)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, trên đường tròn lấy điểm C (khác A, B và BC < AC). Vẽ qua O đường thẳng song song với BC cắt tiếp tuyến tại A ở M.
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt AC tại N. Chứng minh ON vuông góc với MB.
c) Gọi I là giao điểm của MB Và ON. Chứng minh \(\frac{NI}{NC}=\frac{AN}{ON}\)
d) Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì I di chuyển trên đường nào?
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn. Kẻ CH vuông góc với AB, MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Chứng minh: a) MO vuông góc AC. b) \(MA^2\)=MQ.MB c) MO cắt AC tại I. Chứng minh: A, I, Q, M cùng thuộc một đường tròn. d) NC = NH.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn. Kẻ CH vuông góc với AB, MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Chứng minh: a) MO vuông góc AC. b) MA\(^2\)=MQ.MB c) MO cắt AC tại I. Chứng minh: A, I, Q, M cùng thuộc một đường tròn. d) NC = NH.
Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB. Lấy điểm M trên tia tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn (O) sao cho MA>AO. Từ điểm M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC của nửa đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẽ CH vuông góc với AB tại H, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao điểm của MO và AC tại I.
a) Chứng minh MO vuông góc với AC và tứ giác AMQI nội tiếp.
b) Chứng minh góc AQI = góc ACO
c) Chứng minh NC= NH
1. cho tam giác ABC.Tia Ax nằm khác phía với AC đối với đường thẳng AB thỏa mãn góc xAB bằng góc ACB.chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2.cho nửa đường tròn (O) đường kính AB trên đoạn AB lấy điểm M,gọi H là trung điểm của AM.đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C .đường tròn đường kính MB cắt BC tại I. CM HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MB
3.cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C thuộc nửa đường tròn.vẽ CH vuông góc với AB(H thuộc AB),M là trung điểm CH,BM cắt tiếp tuyến Ax của O tại P .chứng minh PC là tiếp tuyến của (O)
4.cho đường tròn O đường kính AB, M là một điểm trên OB.đường thẳng qua M vuông góc với AB tại M cắt O tại C và D. AC cắt BD tại P,AD cắt BC tại Q,AB cắt PQ tai I chứng minh IC,ID là tiếp tuyến của (O)
5.cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB<AC).T là một điểm thuộc OC.đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của O tại P.BH cắt (O) tại D. chứng minh PD là tiếp tuyến của O
6.cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O. phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
) Cho (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA; MB với đường tròn (A,B là tiếp điểm). MO cắt AB tại H. Vẽ đường kính AC của đường tròn, MC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là N.
a) Chứng minh MO vuông góc với AB
b) Gọi I là trung điểm của NC, OI cắt AB tại K. Chứng minh OI.OK = R2 và KC là tiếp tuyến của (O)
a: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó; MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
b: Ta có: ΔONC cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)NC tại I
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2\)
=>\(OH\cdot OM=R^2\)
Xét ΔOIM vuông tại I và ΔOHK vuông tại H có
\(\widehat{IOM}\) chung
Do đó: ΔOIM đồng dạng với ΔOHK
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OK}\)
=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OM=R^2\)
=>\(OI\cdot OK=OC\cdot OC\)
=>\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)
Xét ΔOIC và ΔOCK có
\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)
\(\widehat{IOC}\) chung
Do đó: ΔOIC đồng dạng với ΔOCK
=>\(\widehat{OIC}=\widehat{OCK}\)
=>\(\widehat{OCK}=90^0\)
=>KC là tiếp tuyến của (O)