Tìm max của M =\(\dfrac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-3}\)
Tìm Min và Max(nếu có)
A=2x-\(\sqrt{x}\)
B=x+\(\sqrt{x}\)
C=1+\(\sqrt{2-x}\)
D=\(\sqrt{-x^2+2x+5}\)
E=\(\dfrac{1}{2x-\sqrt{x}+3}\)
F=\(\dfrac{1}{3-\sqrt{1-x^2}}\)
$A=2x-\sqrt{x}=2(x-\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{4^2})-\frac{1}{8}$
$=2(\sqrt{x}-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{8}$
$\geq \frac{-1}{8}$
Vậy $A_{\min}=-\frac{1}{8}$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{1}{16}$
$B=x+\sqrt{x}$
Vì $x\geq 0$ nên $B\geq 0+\sqrt{0}=0$
Vậy $B_{\min}=0$. Giá trị này đạt tại $x=0$
Vì $2-x\geq 0$ (theo ĐKXĐ) nên $C=1+\sqrt{2-x}\geq 1$
Vậy $C_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $2-x=0\Leftrightarrow x=2$
Tìm max của M
M=\(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}\)
Help
ĐKXĐ: x>=0
\(M=\dfrac{\sqrt{x}+2+1}{\sqrt{x}+2}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)
\(\sqrt{x}+2>=2\)
=>\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}< =\dfrac{1}{2}\)
=>\(M=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}< =\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=0
cho x , y > 3 :
a , Tìm max : \(p=\dfrac{\sqrt{x-3}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-3}}{y}\)
b , Tìm max : \(Q=\dfrac{x}{\sqrt{x-3}}+\dfrac{y}{\sqrt{y-3}}\)
Lời giải:
Câu a:
Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu ta có:
\(\sqrt{3(x-3)}\leq \frac{3+(x-3)}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x-3}\leq \frac{x}{2\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{\sqrt{x-3}}{x}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{\sqrt{y-3}}{y}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow p=\frac{\sqrt{x-3}}{x}+\frac{\sqrt{y-3}}{y}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(3=x-3; 3=y-3\Rightarrow x=y=6\)
Vậy \(p_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow x=y=6\)
Câu b: Các phân thức của $q$ là nghịch đảo của $p$ nên $q$ có min thôi em nhé. Nếu tìm min thì tương tự như câu a.
1. tìm min của hàm số \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{1-x}\)với 0 < x < 1
2. tìm max của biểu thức \(P=\dfrac{xy\sqrt{z-1}+yz\sqrt{x-2}+zx\sqrt{y-3}}{xyz}\)với x >=2; y>=3; z >=1
1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3
= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x + 3
= 1-x/x + 2x/1-x + 3 >= 2√2 + 3
Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1
2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)
=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y
= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3
a^2+1 >= 2a => a/a^2+1 <= 1/2
b^2+2 >= 2√2 b => b/b^2+2 <= 1/2√2
c^2+3 >= 2√3 c => c/c^2+3 <= 1/2√3
=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3
Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3
<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3
<=> x=4, y=6, z=2
p=\(\left(\dfrac{1}{\sqrt{\left\{x\right\}}-3}-\dfrac{1}{\sqrt{\left\{x\right\}}+3}\right):\dfrac{3}{\sqrt{\left\{x\right\}}-3}\)
a, tìm x để p max . tìm max
cho biểu thức P =\(\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\times\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\) với x ≥ 0
a, Rút gọn P,
b, Tìm x để P=\(\dfrac{8}{9}\),
c, Tìm Max và Min của P
a) đk: x\(\ge0\);
P = \(\left[\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right].\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)
= \(\dfrac{x+2-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)
= \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)
b) Để P = \(\dfrac{8}{9}\)
<=> \(\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{8}{9}\)
<=> \(\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{2}{3}\)
<=> \(\dfrac{3\sqrt{x}-2x+2\sqrt{x}-2}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=0\)
<=> \(-2x+5\sqrt{x}-2=0\)
<=> \(\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=\dfrac{1}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
c)
Đặt \(\sqrt{x}=a\) (\(a\ge0\))
P = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}\)
Xét P + \(\dfrac{4}{9}\) = \(\dfrac{4a}{3a^2-3a+3}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{12a+4a^2-4a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4a^2+8a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4\left(a+1\right)^2}{9\left(a^2-a+1\right)}\ge0\)
Dấu "=" <=> a = -1 (loại)
=> Không tìm được Min của P
Xét P - \(\dfrac{4}{3}\) = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{4a-4a^2+4a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4a^2+8a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4\left(a-1\right)^2}{3\left(a^2-a+1\right)}\le0\)
<=> \(P\le\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" <=> a = 1 <=> x = 1 (tm)
b) Ta có: \(P=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\cdot\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)
\(=\left(\dfrac{x+2-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)
\(=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)
Ta có: \(P=\dfrac{8}{9}\)
nên \(36\sqrt{x}=27\left(x-\sqrt{x}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow27x-27\sqrt{x}+27-36\sqrt{x}=0\)
\(\Leftrightarrow27x-63\sqrt{x}+27=0\)
1. Tìm max
\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
2. Cho a,b,c >0 và a+b+c=\(\sqrt{2}\)
Tìm max \(N=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(1,yz\sqrt{x-1}=yz\sqrt{\left(x-1\right)\cdot1}\le yz\cdot\dfrac{x-1+1}{2}=\dfrac{xyz}{2}\)
\(zx\sqrt{y-2}=\dfrac{zx\cdot2\sqrt{2\left(y-2\right)}}{2\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\\ xy\sqrt{z-3}=\dfrac{xy\cdot2\sqrt{3\left(z-3\right)}}{2\sqrt{3}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow M\le\dfrac{\dfrac{xyz}{2}+\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}+\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}}{xyz}=\dfrac{xyz\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)}{xyz}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\y-2=2\\z-3=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=6\end{matrix}\right.\)
\(2,N^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\\ \Leftrightarrow N^2\le\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\\ \Leftrightarrow N^2\le6\left(a+b+c\right)=6\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow N\le\sqrt{6\sqrt{2}}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
Tìm Max, Min của hàm số:
1) \(y=\dfrac{x+1+\sqrt{x-1}}{x+1+2\sqrt{x-1}}\)
2) \(y=\sin^{2016}x+\cos^{2016}x\)
3) \(y=2\cos x-\dfrac{4}{3}\cos^3x\) trên \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
4) \(y=\sin2x-\sqrt{2}x+1,x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
5) \(y=\dfrac{4-cos^2x}{\sqrt{sin^4x+1}},x\in\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right]\)
Tìm max \(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x\ne9\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-3+3}{\sqrt{x}-3}\)
\(=1+\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}\)
\(\sqrt{x}-3>=-3\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
=>\(\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}< =\dfrac{3}{-3}=-1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
=>\(\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}+1< =-1+1=0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
=>P<=0 với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ
Dấu '=' xảy ra khi x=0