ta có \(\sqrt{2000}-\sqrt{1999}=\frac{1}{\sqrt{2000}+\sqrt{1999}}\)

\(\sqrt{2001}-\sqrt{2000}=\frac{1}{\sqrt{2001}+\sqrt{2000}}\)

mà\(\frac{1}{\sqrt{2000}+\sqrt{1999}}>\frac{1}{\sqrt{2001}+\sqrt{2000}}\)→\(\sqrt{2000}-\sqrt{1999}>\sqrt{2001}-\sqrt{2000}\)

\(A=\sqrt{2007}-\sqrt{2006}=\frac{\left(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}\right)\left(\sqrt{2007}+\sqrt{2006}\right)}{\left(\sqrt{2007}+\sqrt{2006}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}\)(1)

\(B=\sqrt{2008}-\sqrt{2007}=\frac{\left(\sqrt{2008}-\sqrt{2007}\right)\left(\sqrt{2008}+\sqrt{2007}\right)}{\left(\sqrt{2008}+\sqrt{2007}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2008}+\sqrt{2007}}\)(2)

Từ 1  và 2 => \(\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}>\frac{1}{\sqrt{2008}+\sqrt{2007}}\)

hay \(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}>\sqrt{2008}-\sqrt{2007}\)

P/s tham khảo nha

\(a,\sqrt{42}=\sqrt{3\cdot14}>\sqrt{3\cdot12}=6\\ \sqrt[3]{51}=\sqrt[3]{17}< \sqrt[3]{3\cdot72}=6\\ \Rightarrow\sqrt{42}>\sqrt[3]{51}\\ b,16^{\sqrt{3}}=4^{2\sqrt{3}}\\ 18>12\Rightarrow3\sqrt{2}>2\sqrt{3}\Rightarrow4^{3\sqrt{2}}>4^{2\sqrt{3}}\\ \Rightarrow4^{3\sqrt{2}}>16^{\sqrt{3}}\)

\(c,\left(\sqrt{16}\right)^6=16^3=4^6=4^2\cdot4^4=4^2\cdot16^2\\ \left(\sqrt[3]{60}\right)^6=60^2=4^2\cdot15^2\\ 4^2\cdot16^2>4^2\cdot15^2\Rightarrow\sqrt{16}>\sqrt[3]{60}\Rightarrow0,2^{\sqrt{16}}< 0,2^{\sqrt[3]{60}}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\)

\(\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2< \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}< \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}< 2\left(a+b\right)\Leftrightarrow-\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)< 0\Leftrightarrow-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< 0\)(luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Áp dụng : \(\frac{\sqrt{1998}+\sqrt{2000}}{2}< \sqrt{\frac{1998+2000}{2}}=\sqrt{1999}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1998}+\sqrt{2000}< 2.\sqrt{1999}\)

Phần chứng minh bất đẳng thức bạn ghi thêm điều kiện a,b > 0 nhé

tại sao ko sử dụng máy tính

Vì \(\sqrt{2,5+6,5}\ge0\Rightarrow\sqrt{2,5+6,5}< \sqrt{2,5+6,5}+1\)

\(\sqrt{7}+\sqrt{11}\)\(+\sqrt{32}+\sqrt{40}\) < 18

k mk nha

tại sao v bạn ???