Lời giải:

Ta có:

$AB.AC=AH.BC=40$ 

$AB^2+AC^2=BC^2=100$

$\Rightarrow (AB+AC)^2=AB^2+AC^2+2AB.AC=180$

$\Rightarrow AB+AC=6\sqrt{5}$

Theo định lý Viet đảo, $AB,AC$ là nghiệm của pt $X^2-6\sqrt{5}X+40=0$

$\Rightarrow AB=4\sqrt{5}; AC=2\sqrt{5}$ (giả sử $AB>AC$)
Dễ thấy $AIHK$ là hình chữ nhật do có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{I}=\widehat{K}=90^0$

$\Rightarrow IK=AH=4$

Theo định lý Pitago: $AI^2+AK^2=IK^2=16(1)$

Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AI.AB=AH^2$

$AK.AC=AH^2$

$\Rightarrow AI.AB=AK.AC\Rightarrow \frac{AI}{AK}=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow AI=\frac{4\sqrt{5}}{5}; AK=\frac{8\sqrt{5}}{5}$ (cm)

Chu vi AIHK:

$P=2(AI+AK)=2(\frac{4\sqrt{5}}{5}+\frac{8\sqrt{5}}{5})=\frac{24\sqrt{5}}{5}$ (cm)

Diện tích AIHK:

$S=AI.AK=\frac{4\sqrt{5}}{5}.\frac{8\sqrt{5}}{5}=6,4$ (cm vuông)

Hình vẽ:

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

AM\(\perp\)DE

=>\(\widehat{AED}+\widehat{MAC}=90^0\)

mà \(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\left(cmt\right)\) 

và \(\widehat{AHD}=\widehat{ABH}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{ABH}+\widehat{MAC}=90^0\)

mà \(\widehat{ABH}+\widehat{MCA}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

=>MA=MC

\(\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{MCA}+\widehat{MBA}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

mà \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

nên \(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

=>MA=MB

mà MA=MC

nên MB=MC

=>M là trung điểm của BC

( Hình em tự vẽ nhé! )

Lấy O là giao điểm DE và HA

+ Xét tứ giác ADHE có:

\(\widehat{HDA}=\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=90^o\)

=> ADHE là hình chữ nhật

=> O là trung điểm AH (t/c)

     O là trung điểm DE (t/c)

=> OA = OH = OD = OE 

=> ΔAOE cân tại O

=> \(\widehat{OAE}=\widehat{OEA}\left(tc\right)\)

+ Xét ΔABH vuông tại H

=> \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\)

Mà \(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=90^o\)

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)

Mà \(\widehat{CAH}=\widehat{OEH}\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{AEO}\)

+ Xét ΔADE và ΔACB có:

\(\widehat{DAE}=\widehat{CAB}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

=> ΔADE \(\sim\) ΔACB (g.g)

=> \(\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\left(2gtu\right)\)

Lấy I là giao điểm AM và DE 

+ Xét ΔAIE vuông tại I 

=> \(\widehat{IAE}+\widehat{IEA}=90^o\)

Mà \(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=90^o\)

=> \(\widehat{IEA}=\widehat{MAB}\)

Mà \(\widehat{IEA}=\widehat{ABC}\)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}\)

=> ΔABM cân tại M

=> MA = MB (t/c)

+ Xét ΔAID vuông tại I

=> \(\widehat{IDA}+\widehat{IAD}=90^o\)

Mà \(\widehat{IAD}+\widehat{MAC}=90^o\)

=> \(\widehat{IDA}=\widehat{MAC}\)

Mà \(\widehat{IDA}=\widehat{ACM}\)

=> \(\widehat{MAC}=\widehat{ACM}\)

=> ΔMAC cân tại M

=> MA = MC (t/c)

Mà MA = MB 

=> MB = MC

=> M là trung điểm BC.

1: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

2: \(\widehat{EDM}=90^0\)

=>\(\widehat{EDH}+\widehat{MDH}=90^0\)

=>\(\widehat{EAH}+\widehat{MDH}=90^0\)

=>\(\widehat{MDH}+\widehat{HAC}=90^0\)

=>\(\widehat{MDH}+\widehat{ABC}=90^0\)

mà \(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)

nên \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)

=>MD=MH

\(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=\widehat{HDB}=90^0\)

\(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)(ΔHDB vuông tại D)

mà \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)

nên \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)

=>MD=MB

=>MB=MH

=>M là trung điểm của BH

\(\widehat{NED}=90^0\)

=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DEH}=90^0\)

=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DAH}=90^0\)

mà \(\widehat{DAH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{NEH}+\widehat{C}=90^0\)

mà \(\widehat{NHE}+\widehat{C}=90^0\)(ΔHEC vuông tại E)

nên \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)

=>NE=NH

\(\widehat{NEH}+\widehat{NEC}=\widehat{CEH}=90^0\)

\(\widehat{NHE}+\widehat{NCE}=90^0\)(ΔCEH vuông tại E)

mà \(\widehat{NHE}=\widehat{NEH}\)

nên \(\widehat{NEC}=\widehat{NCE}\)

=>NE=NC

mà NH=NE

nên NC=NH

=>N là trung điểm của HC

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

mà \(\widehat{AHD}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC=MB

MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{MAC}+\widehat{AED}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^0\)

=>AM vuông góc DE

a, Vì \(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=90^0\) nên AEHD là hcn

Do đó AH=DE

b, Vì \(\widehat{HAB}=\widehat{MCA}\) (cùng phụ \(\widehat{CAH}\))

Mà \(\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\) (do \(AM=CM=\dfrac{1}{2}BC\) theo tc trung tuyến ứng ch)

Vậy \(\widehat{HAB}=\widehat{MAC}\)

c, Gọi O là giao AM và DE

Vì AEHD là hcn nên \(\widehat{HAB}=\widehat{ADE}\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ADE}\)

Mà \(\widehat{ADE}+\widehat{AED}=90^0\left(\Delta AED\perp A\right)\) nên \(\widehat{MAC}+\widehat{ADE}=90^0\)

Xét tam giác AOE có \(\widehat{AOE}=180^0-\left(\widehat{MAC}+\widehat{ADE}\right)=90^0\)

Vậy AM⊥DE tại O