Cho 2 điểm A,B cố định và số k>0.Tìm xem M di động trên đường cố định nào, biết \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=k\)
Trong không gian cho ba điểm A B C , , cố định không thẳng hàng, tìm tập hợp điểm M sao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)
Gọi D là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC
Theo tính chất trọng tâm: \(AG=\dfrac{2}{3}AD\)
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CM}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MG}\right|=\left|-2\overrightarrow{AD}\right|\)
\(\Leftrightarrow MG=\dfrac{2}{3}AD=AG\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp M là mặt cầu tâm G bán kính AG với G là trọng tâm tam giác ABC
Cho tam giác đều ABC cạnh a.Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức \(\left|\overrightarrow{2MA}+\overrightarrow{3MB}+\overrightarrow{4MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|\) là đường tròn cố định có bán kính R.Tính bán kính theo a
Cho tam giác ABC cố định
a) Xác định điểm I sao cho : \(\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
b) Lấy điểm M di động. Vẽ điểm N sao cho : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\)
Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định
a) Giả sử điểm I thỏa mãn:
\(\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}\).
Xác định véc tơ: \(\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}\).
Dựng điểm B' sao cho \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB'}\).
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB'}=\overrightarrow{AB'}\).
\(\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{AB'}}{2}\).
Dựng điểm I sao cho \(\overrightarrow{IB}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}=\overrightarrow{AK}\) (K là trung điểm của AB').
b) Tìm điểm I sao cho: \(\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\) và chứng mịn điểm I cố định.
Có: \(\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{CI}\)
\(=\left(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IB}\right)+2\overrightarrow{IB}\)
\(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{IB}\).
Suy ra: \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}\)
Vậy điểm I xác định sao cho \(\overrightarrow{IB}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}\) .
Do A, B, C cố định nên tồn tại một điểm I duy nhất.
Theo giả thiết:
Có \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\)\(=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)-2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)\)
\(=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{MI}\) (Do các xác định điểm I).
Vì vậy \(\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MI}\) nên hai véc tơ \(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MI}\) cùng hướng.
Suy ra 3 điểm M, N, I thẳng hàng hay MN luôn đi qua điểm cố định I.
Cho 2 điểm A,B phân biệt và cố định,với I là trung điểm của AB.Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức \(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\) là:
A.đường trung trực đoạn AB
B.đường tròn đường kính AB
C.đường trung trực đoạn IA
D.đường tròn tâm A bán kính AB
\(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\)
\(\Leftrightarrow4MA^2+MB^2+4\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA^2+4MB^2+4\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\)
\(\Leftrightarrow MA^2=MB^2\)
\(\Leftrightarrow MA=MB\)
Vậy tập hợp M là trung trực AB
Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai điểm cố định A và B. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\) Khi M di động trên đường tròn tâm (O;R). Tìm tập hợp điểm M'.
1. Cho 2 điểm cố định A,B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|\)=\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|\)
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)^2-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)^2=0\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)=0\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)=0\)
Gọi I là trung điểm BC
\(\Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MI}\right)\cdot\overrightarrow{CB}=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{CB}=0\\2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MI}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\equiv B\\\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MI}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\equiv B\\M\text{ là trung điểm }AI\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(C\equiv B\) thì M tùy ý
Với \(C\ne B\) thì M là trung điểm đường trung tuyến ứng với BC của \(\Delta ABC\)
Cho tam giác ABC cố định và G là trọng tâm tam giác. Tập hợp điểm M thỏa \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=a\) vs a<0 là:
A. Trung điểm BC
B. Đường tròn tâm G , bán kính bằng a.
C. Đường tròn tâm G , bán kính bằng \(\dfrac{a}{3}\)
D. Đường tròn tâm M, bán kính bằng \(\dfrac{a}{3}\)
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=a\) (a>0 mới đúng, độ dài ko thể nhỏ hơn 0)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow3\left|\overrightarrow{MG}\right|=a\) (do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\))
\(\Leftrightarrow MG=\dfrac{a}{3}\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp M là đường tròn tâm G bán kính \(\dfrac{a}{3}\)
Cho hình chữ nhật ABCD cố định tâm O. Tập hợp điểm M thỏa
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=a\right|\)
Với a>0 là:
A. Đường trung trực của đoạn BC
B. Đường tròn tâm O, bán kính bằng a.
C. Đường tròn tâm A, bán kính bằng \(\dfrac{a}{4}\)
D. Đường tròn tâm O, bán kính bằng \(\dfrac{a}{4}\)
\(\dfrac{a}{4}\)\(\dfrac{a}{4}\)
Chắc đề là: \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=a\) ?
\(\left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow\left|4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow4\left|\overrightarrow{MO}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow MO=\dfrac{a}{4}\)
Tập hợp M là đường tròn tâm O bán kính \(\dfrac{a}{4}\)
Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý.Tìm k và điểm cố định I thỏa mãn mỗi trường hợp sau với mọi M:
a) \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}\)
b) \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{MI}\)