Ta có a>b=> a^2=a.a>ab.

a>b=>ab>b.b=b^2

Vậy nếu a>b thì a^2>b^2 với a,bER+

b, Ta có \(m=a+b+c\)

          \(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)

Ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

=>Chia 2 vế cho a+b

Ta có:\(a^2+ab+b^2\ge ab\)

=>Trừ 2 vế cho ab \(a^2+b^2\ge0\)

Vì a² >=0 Với mọi a

b² >= 0 với mọi b

=> a²+b²>= 0 với mọi a,b

Dấu bằng xảy ra khi:

a²=0 và b²=0

=> a=b=0

Vậy \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) khi a=b=0

Cách 2 a³+b³>=ab(a+b)

=>a³-a²b +b³-ab²>=)

=> a²(a-b)-b²(a-b)>=0

=>(a-b)²(a+b)>=0 vì a,b dương => a+b>=0

=>Th1:(a-b)² =0                              Th2:a+b=0

=> a-b=0                                                a=b=0

=>a=b

Vậy a³+b³>= ab(a+b)

a) Nếu n²+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n² + 2014 = k2 → k² – n² = 2014

=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)

Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn

Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4

Mà 2014 không chia hết cho 4

Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.

Vậy không có số nguyên dương n nào để số n² + 2014 là số chính phương

b) Với 2 số a, b dương:

Xét: a² + b² – ab ≤ 1

<=> (a + b)(a² + b² – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)

<=> a³ + b³ ≤ a + b

<=> (a³ + b³)(a³ + b³) ≤ (a + b)(a⁵ + b⁵) (vì a³ + b³ = a⁵ + b⁵)

<=> a⁶ + 2a³b³ + b⁶ ≤ a⁶ + ab⁵ + a⁵b + b⁶

<=> 2a³b³ ≤ ab⁵ + a⁵b

<=> ab(a⁴ – 2a²b² + b⁴⁾ ≥ 0

<=> ab(a² - b²) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .

Vậy: a² + b² ≤ 1 + ab với a, b dương và a³ + b³ = a⁵ + b⁵

3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề

\(VT=3\left(\dfrac{1}{4ab}+\dfrac{1}{a^2+4b^2}\right)+\dfrac{1}{2.a.2b}\ge\dfrac{12}{a^2+4ab+4b^2}+\dfrac{2}{\left(a+2b\right)^2}=14\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\)

a) ab + ba

= 10a + b + 10b + a

= 11a + 11b = 11(a+b)

Chia hết cho a + b

a) ab + ba

= 10a + b + 10b + a

= 11a + 11b = 11(a+b)

Chia hết cho a + b

a)ab+ba

=10a+b+10b+a

=11a+11b=11(a+b)

chai hết cho a+b