x=14

\(2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2x = 210\\ [\frac{2x-2}{2} + 1 ] . \frac{2x+2}{2} = 210\\ [ \frac{2x-2.1}{2} + 1 ] .\frac{2x+2.1}{2} = 210\\ [\frac{2(x-1)}{2} + 1 ] .\frac{2(x+1)}{2} = 210\\ [ ( x -1 ) + 1 ] . ( x + 1 ) = 210\\ x . ( x + 1 ) = 210\\ x . ( x + 1 ) = 14 . 15\\ \Rightarrow x = 14\\\)

x=14

Cho xin một like đi các dân chơi à.

Chọn C

Ta có
\(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right).\left(2n+3\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+...+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2n+3}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n+2}{2n+3}\)
\(=\frac{2n+2}{4n+6}=\frac{2\left(n+1\right)}{2\left(2n+3\right)}=\frac{n+1}{2n+3}\)
\(\RightarrowĐPCM\)

a) \(2+4+6+...+2n=n\left(n+1\right)\)       (1)

\(n=1\) ta có : \(2=1\cdot\left(1+1\right)\)  ( đúng)

Giả sử (1) đúng đến n, ta sẽ chứng minh (1) đúng với n+1

Có \(2+4+6+...+2n+2\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

=> (1) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

b) sai đề nha, mình search google thì được như này =))

 \(1^3+3^3+5^3+...+\left(2n-1\right)^2=n^2\left(2n^2-1\right)\)     (2)

\(n=1\) ta có : \(1^3=1^2\cdot\left(2-1\right)\)   (đúng) 

giả sử (2) đúng đến n, tức là \(1^3+3^3+...+\left(2n-1\right)^3=n^2\left(2n^2-1\right)\)

Ta c/m (2) đúng với n+1

Có \(1^3+3^3+...+\left(2n+1\right)^3=n^2\left(2n^2-1\right)+\left(2n+1\right)^3\)

\(=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1\)

\(=\left(n^2+2n+1\right)\left(2n^2+4n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)^2\left[2\left(n+1\right)^2-1\right]\)   => (2) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

Tính các giới hạn sau:

a) lim n^3 +2n^2 -n+1

b) lim n^3 -2n^5 -3n-9

c) lim n^3 -2n/ 3n^2 +n-2

d) lim 3n -2n^4/ 5n^2 -n+12

e) lim (căn 2n^2 +3 - căn n^2 +1)

f) lim căn (4n^2-3n). -2n

a) \(5^{n+3}-5^{n+1}=5^{12}.120\Leftrightarrow5^{n+1}.\left(5^2-1\right)=5^{12}.5.24\)

\(\Leftrightarrow24.5^{n+1}=5^{13}.24\Leftrightarrow5^{n+1}=5^{13}\Leftrightarrow n+1=13\Leftrightarrow n=12\)

b) \(2^{n+1}+4.2^n=3.2^7\)

\(\Leftrightarrow2^n\left(2+4\right)=3.2^7\Leftrightarrow6.2^n=3.2^7\Leftrightarrow2^n=2^6\Leftrightarrow n=6\)

c) \(3^{n+2}-3^{n+1}=486\)

\(\Leftrightarrow3^{n+1}.\left(3-1\right)=486\Leftrightarrow2.3^{n+1}=486\Leftrightarrow3^{n+1}=243\)

\(\Leftrightarrow3^n=243:3=81=3^3\Leftrightarrow n=3\)

d) \(3^{2n+3}-3^{2n+2}=2.3^{10}\)

\(\Leftrightarrow3^{2n+2}.\left(3-1\right)=2.3^{10}\)

\(\Leftrightarrow3^{2n+2}.2=2.3^{10}\Leftrightarrow3^{2n+2}=3^{10}\Leftrightarrow2n+2=10\Leftrightarrow2n=8\Leftrightarrow n=4\)

2.a)n^5+1⋮n^3+1

⇒n^2.(n^3+1)-n^2+1⋮n^3+1

⇒1⋮n^3+1

⇒n^3+1ϵƯ(1)={1}

ta có :n^3+1=1

n^3=0

n=0

Vậy n=0

b)n^5+1⋮n^3+1

Vẫn làm y như bài trên nhưng vì nϵZ⇒n=0

Bữa sau giải bài 3 mình buồn ngủ quá!!!!!!!!