a: góc AMO=góc AKO=90 độ

=>AMKO nội tiếp

b: Đề sai rồi bạn

a) Ta có: \(\widehat{AMO}=\widehat{ADO}=\widehat{ANO}=90^o\) nên \(M,N,D\) cùng nhìn \(AO\) dưới một góc vuông suy ra \(M,D,O,N,A\) cùng thuộc một đường tròn. 

b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(AC\) và đường tròn \(\left(O\right)\).

\(\Delta ANF\sim\Delta ACN\left(g.g\right)\) suy ra \(AN^2=AC.AF\).

Xét tam giác \(AHN\) và tam giác \(AND\):

\(\widehat{HAN}=\widehat{NAD}\) (góc chung) 

\(\widehat{ANH}=\widehat{ADN}\) (vì \(AMDON\) nội tiếp, \(\widehat{ANH},\widehat{ADN}\) chắn hai cung \(\stackrel\frown{AM},\stackrel\frown{AN}\) mà \(AM=AN\))

\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta AND\left(g.g\right)\)

suy ra \(AN^2=AH.AD\)

suy ra \(AC.AF=AH.AD\)

\(\Rightarrow\Delta AFH\sim\Delta ADC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AFH}=\widehat{ADC}=90^o\)

suy ra \(\widehat{HFC}=90^o\) mà \(\widehat{BFC}=90^o\) (do \(F\) thuộc đường tròn \(\left(O\right)\))

suy ra \(B,H,F\) thẳng hàng do đó \(BH\) vuông góc với \(AC\).

Tam giác \(ABC\) có hai đường cao \(AD,BF\) cắt nhau tại \(H\) suy ra \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). 

Bạn check lại và đánh lại đề để mình có thể giúp đỡ nha.

CM hộ luôn H là trực tâm đi @@

Lời giải:

1) Vì  là đường cao của tam giác  nên:

ˆBMC=ˆBNC(=900)BMC^=BNC^(=900)

Hai góc này cùng nhìn cạnh  nên theo dấu hiệu nhận biết tgnt thì tứ giác  nội tiếp, hay  cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi  là giao điểm  và 

Gọi  là trung điểm của 

Ta thấy  là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền  của tam giác  nên , do đó  cũng thuộc đường tròn đường kính 

 tam giác  cân tại 

⇒ˆTNH=ˆTHN=ˆBHK(1)⇒TNH^=THN^=BHK^(1)

Tương tự, tam giác vuông  có đường trung tuyến  nên 

 cân tại 

⇒ˆBNO=ˆOBN(2)⇒BNO^=OBN^(2)

Từ (1);(2)⇒ˆTNH+ˆBNO=ˆBHK+ˆOBN(1);(2)⇒TNH^+BNO^=BHK^+OBN^

⇒ˆTNO=ˆBHK+ˆHBK=900⇒TNO^=BHK^+HBK^=900

Do đó ON là tiếp tuyến của 

1) Vì $BN,CM$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên:

ˆBMC=ˆBNC(=900)BMC^=BNC^(=900)

Hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên theo dấu hiệu nhận biết tgnt thì tứ giác $BMNC$ nội tiếp, hay $B,M,N,C$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi $K$ là giao điểm $AH$ và $BC$

Gọi $T$ là trung điểm của $AH$

Ta thấy $NT$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AH$ của tam giác $ANH$ nên $NT=\frac{AH}{2}=r$, do đó $N$ cũng thuộc đường tròn đường kính $AH$

$NT=\frac{AH}{2}$

a: Xét tứ giác OMAN có

\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=90^0+90^0=180^0\)

=>OMAN là tứ giác nội tiếp

=>O,M,A,N cùng thuộc một đường tròn

b: ΔOBN cân tại O

mà OI là đường phân giác

nên OI\(\perp\)BN và OI là đường trung trực của BN

Xét ΔOBI và ΔONI có

OB=ON

\(\widehat{BOI}=\widehat{NOI}\)

OI chung

Do đó: ΔOBI=ΔONI

=>\(\widehat{OBI}=\widehat{ONI}=90^0\)

=>IB là tiếp tuyến của (O)

c: Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

=>AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

d: AO là đường trung trực của MN

=>AO cắt MN tại trung điểm của MN

=>K là trung điểm của MN