Question

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AK. Vẽ đường tròn (o) đường kính BC, các tiếp tuyến AM,AN (M,N là các tiếp điểm) MN cắt AK tại H.Chứng minh:

a) Năm điểm A,M.O,K,N cùng nằm trên một đường tròn

b) \(AM^2=AH.AK\)

c) H là trực tâm của tam giác ABC

Answer 1

a)Có: \(\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=90^o+90^o=180^o\)

\(\Rightarrow AMON\) nt \(\Rightarrow\)A,M,O,N cùng thuộc 1 đường tròn.

Có: \(\widehat{AMO}=\widehat{AKO}=90^o\)

\(\Rightarrow AMKO\) nt\(\Rightarrow\)A,M,K,O cùng thuộc 1 đường tròn.

Vậy A,N,K,O,N cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Có A,M,K,N cùng thuộc 1 đường tròn

=> AMKN nt.

\(\Rightarrow\widehat{MKA}=\widehat{MNA}\)(cùng chắn \(\stackrel\frown{AM}\))

mà AM=AN(là tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

\(\Rightarrow\widehat{MKA}=\widehat{AMN};\widehat{MAK}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AMH\sim\Delta AKM\)(gg)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AK}{AM}\Rightarrow AM^2=AH.AK\)