Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=\(\dfrac{yz-\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :M=\(\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}\)
Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z= 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P= \(\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
\(P^2=\left(\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)\)
\(=3\left(4+xy+yz+xz\right)=12+3\left(xy+yz+xz\right)\)
Mặt khác,theo AM-GM:
\(3\left(xy+yz+xz\right)\le\left(x+y+z\right)^2=4\)
\(\Rightarrow12+3\left(xy+yz+xz\right)\le12+4=16\)
\(\Rightarrow P^2\le16\Leftrightarrow P\le4\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q = \(\sqrt{x+1}+\sqrt{6-x}\)
ta có
can x+1 >=0 voi moi x
can 6-x >=0 voi moi x
=> căn x+1 + căn 6-x >= 0
Q2=7+2\(\sqrt{\left(x+1\right)\left(6-x\right)}\)\(\ge\)7 => Q\(\ge\)\(\sqrt{7}\)
dấu bằng khi x=-1 hoặc x=6
Q2=7+2\(\sqrt{\left(x+1\right)\left(6-x\right)}\)\(\le\)7+x+1+6-x = 14 => Q\(\le\) \(\sqrt{14}\)
dấu bằng khi x+1 = 6-x <=> 2x =5 <=> x=2.5
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+\sqrt{4-x^2}\)
TXĐ: D=[-2,2]
P'=\(1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\)
P'=0<=> \(1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=0\)=>\(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{4-x^2}\\4-x^2>0\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x^2=4-x^2\\x\ge0\\-2< x< 2\end{cases}}\)
=> \(x=\sqrt{2}\)
P(-2)=-2
\(P\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\)
P(2)=2
Vậy GTLN của P=\(2\sqrt{2}\),GTNN là -2
Cho x, y, z là các số dương và xyz = 4 Tính giá trị biểu thức :
\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+2}+\dfrac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}\)
Cho hai số x>0,y>0 và \(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{y}\)= 1
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức E= x\(\sqrt{x}\)+ y\(\sqrt{y}\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(y=\dfrac{x^2+2}{x^2+x+1}\)
Ta có :\(y=\frac{x^2+2}{x^2+x+1}\)
\(\Leftrightarrow yx^2+yx+y=x^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(y-1\right)+yx+y-2=0\)(1)
*Xét y = 1 thì pt trở thành \(x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
*Xét \(y\ne1\)thì pt (1) là pt bậc 2 ẩn x
Có \(\Delta=y^2-4\left(y-1\right)\left(y-2\right)\)
\(=y^2-4\left(y^2-3y+2\right)\)
\(=y^2-4y^2+12y-8\)
\(=-3y^2+12y-8\)
Pt (1) có nghiệm khi \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3y^2+12y-8\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\le y\le\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\)
Cho ba số thực X,Y,Z thỏa mản 2X + 2Y + Z=4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2XY + YZ +ZX
Cho biểu thức \(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\) .
a ) Rút gọn P
b ) Tìm giá trị lớn nhất của P
c ) Tìm x để \(Q=\frac{2\sqrt{x}}{P}\) nhận giá trị là số nguyên .
a) DK : x > 0; x khác 1
\(P=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(2\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}+1\right)\)
\(=x-\sqrt{x}+1\)
c ) \(Q=\frac{2\sqrt{x}}{P}=\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\)
<=> \(xQ-\left(Q+2\right)\sqrt{x}+Q=0\)(1)
TH1: Q = 0 => x = 0 loại
TH2: Q khác 0
(1) là phương trình bậc 2 với tham số Q ẩn x.
(1) có nghiệm <=> \(\left(Q+2\right)^2-4Q^2\ge0\)
<=> \(-3Q^2+4Q+4\ge0\)
<=> \(-\frac{2}{3}\le Q\le2\)
Vì Q nguyên và khác 0 nên Q = 1 hoặc Q = 2
Với Q = 1 => \(x-3\sqrt{x}+1=0\)
<=> \(\sqrt{x}=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)----> Tìm được x
Với Q = 2 => \(2x-4\sqrt{x}+1=0\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)-----> tìm đc x.
Tự làm tiếp nhé! Kiểm tra lại đề bài câu b.