1a

\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)

\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)

1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)

\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Bài 2 Dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel là ra:D

Bài 3:Đừng vội dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel ngay kẻo bị phức tạp:v Thay vào đó hãy khai triển nó ra:

\(A=x^2+y^2+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)

\(\ge4+2.2+\frac{4}{x^2+y^2}=4+4+1=9\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\sqrt{2}\)

Bài 4: Dùng Cauchy or Bunhiacopxki là ok!

Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự 

\(Ta có: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - (\frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }})\)

\(Do đó: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{\sqrt {2a(b^3 + c^2 )} }}{2}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{2a + b^3 + c^2 }}{4}\)

\(CMTT \frac{{b^5 }}{{c^3 + a^2 }}\mathop \ge \frac{{3b^2 }}{2} - \frac{{2b + c^3 + a^2 }}{4}\), \(\frac{{c^5}}{{a^3+b^2}}\mathop \ge \frac{{3c^2 }}{2} - \frac{{2c + a^3 + b^2 }}{4}\)

\(M \ge \frac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)

\(M \ge \frac{9}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)

Áp dụng Bunhiacoopski ta có:

\(\sqrt {(a^4+b^4+c^4 )(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt {(a^4 +b^4+ c^4 ).3}\ge a^3+b^3+c^3 \)

\(\sqrt {(a^4 + b^4 + c^4 )(1 + 1 + 1)} = \sqrt {(a^2 + b^2 + c^2 ).3} \ge a^2 + b^2 + c^2 \Leftrightarrow a^4 + b^4 + c^4 \ge 3\)

Ta có: \(3 = a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{{(a + b + c)^2 }}{3} \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge a + b + c\) 

\(Đặt t=x^4+y^4+z^4 (t \ge 3) cần CM để trở thành S \ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4}\ge 0\)

\(Ta có: S\ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4} = \frac{{3(t - 3) + \sqrt t (\sqrt t - \sqrt 3 )}}{4} \ge 0 \)
\(Do đó: M\geq \frac{9}{2}\)

Phần đầu mình thiếu nha

\(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\ge\frac{3a^2}{2}\)

=> \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\left(\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\right)\)

Do đó \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\sqrt{2a\left(b^3+c^2\right)}}{2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\left(2a+b^3+b^2\right)}{4}\)

CMTT \(\frac{b^5}{c^3+a^2}\ge\frac{3b^2}{2}-\frac{\left(2b+c^3+a^2\right)}{4},\frac{c^5}{a^3+b^2}\ge\frac{3c^2}{2}-\frac{\left(2c+a^3+b^2\right)}{4}\)

Ta có:

\(\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^3+c^2}{4}+\dfrac{a}{2}\ge\dfrac{3a^2}{2}\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+a^4+b^4+c^4-\dfrac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2+a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\ge\dfrac{5}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{4}{3}\left(a^3+b^3+c^3\right)-1-\dfrac{1}{4}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{13}{12}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{7}{4}\)

\(=\dfrac{5}{4}+\dfrac{13}{12}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\ge\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{13}{12}\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=\dfrac{9}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)      

1) ta có: A= x^3 -8y^3=> A=(x-2y)(x^2 +2xy+4y^2)=>A=5.(29+2xy)   (vì x-2y=5 và x^2+4y^2=29)     (1)

Mặt khác : x-2y=5(gt)=> (x-2y)^2=25=> x^2-4xy+4y^2=25=>29-4xy=25(vì x^2+4y^2=29)

                                                                                          => xy=1    (2)

Thay (2) vào (1) ta đc: A= 5.(29+2.1)=155

Vậy gt của bt A là 155

2) theo bài ra ta có: a+b+c=0 => a+b=-c=>(a+b)^2=c^2=> a^2 +b^2+2ab=c^2=>c^2-a^2-b^2=2ab

=> \(\left(c^2-a^2-b^2\right)^2=4a^2b^2\)

=>\(c^4+a^4+b^4-2c^2a^2+2a^2b^2-2b^2c^2=4a^2b^2\)

=>\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

=>\(2\left(a^4+b^4+c^4\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

=> \(a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\) (đpcm)

a+b+c=3/2 => (a+b+c)² = 9/4 <=> a²+b²+c²+2ac+2bc+2ac =9/4

mà ta có a²+b²+c²>= ac+bc+ac ( dễ dàng chứng minh được khi nhân hai lên rồi nhóm thành hằng đẳng thức hai số)

=> 3(a²+b²+c²)>= 9/4 <=> 4(a²+b²+c²⁾ >= 4

=> min M=4 dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1/2

mình nghĩ bạn Hoài có cách làm đúng nhưng kết quả sai

Mình dựa trên bài bạn thì được kết quả là Min=3 cơ