1, Dễ thấy : \(5^2=25\equiv1\left(mod12\right)\)                                         \(7^2=49\equiv1\left(mod12\right)\)

             \(\rightarrow\left(5^2\right)^{35}\equiv1^{35}\left(mod12\right)\)                                     \(\rightarrow\left(7^2\right)^{35}\equiv1^{35}\left(mod12\right)\)

           \(\rightarrow5^{70}\equiv1\left(mod12\right)\)                                                 \(\rightarrow7^{70}\equiv1\left(mod12\right)\)

Vậy \(5^{70}:12\left(dư1\right)\) và \(7^{70}:12\left(dư1\right)\)Vậy \(\left(5^{70}+7^{70}\right):12\left(dư2\right)\)

Bài 2 :  Ta có : 3012 = 13.231 + 9

Do đó: 3012 đồng dư với 9 (mod13)

=> \(3012^3\)đồng dư với \(9^3\left(mod13\right)\). Mà \(9^3=729\)đồng dư với 1 (mod13)

=> \(3012^3\)đồng dư với 1 (mod13)

Hay \(3012^{93}\)đồng dư với 1 (mod13)

=> \(3012^{93}-1\)đồng dư với 0 (mod13)

Hay \(3012^{93}-1⋮13\left(đpcm\right)\)

Bếu hít

a) Có: \(2^3=8\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow2^{51}\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow2^{51}-1⋮7\left(đpcm\right)\)

b) 2⁷⁰ + 3⁷⁰ = (2²)³⁵ + (3²)³⁵ = 4³⁵ + 9³⁵

\(=\left(4+9\right).\left(4^{34}-4^{33}.9+....-4.9^{33}+9^{34}\right)\)

\(=13.\left(4^{34}-4^{33}.9+...-4.9^{33}+9^{34}\right)⋮13\left(đpcm\right)\)

giải bằng phép đồng dư giúp mk

2⁷⁰ + 3⁷⁰ = (2²)³⁵ + (3²)³⁵ = 4³⁵ + 9³⁵ chia hết cho 4 + 9 = 13

Ta có :

2⁷⁰ + 3⁷⁰ = (2²)³⁵  + (3²)³⁵ = 4³⁵ + 9³⁵

\(\Rightarrow\) 4³⁵ + 9³⁵ \(⋮\) 4+9

\(\Rightarrow\) 4³⁵ + 9³⁵ \(⋮\) 13

hay 2⁷⁰ + 3⁷⁰ \(⋮\) 13

Theo đề ta có :

2⁷⁰ + 3⁷⁰ = (2²)³⁵ + (3²)³⁵ = 4³⁵ + 9³⁵

<=> 4³⁵ + 9³⁵ chia hết cho 4 + 9 (do 4³⁵ chia hết cho 4 và 9³⁵ chia hết cho 9)

<=> 4³⁵ + 9³⁵ chia hết cho 13 (do 4 + 9 = 13)

Vậy 2⁷⁰ + 3⁷⁰ chia hết cho 13 (ĐPCM)