\(P=n^3+n+2\)

\(=\left(n^3+1\right)+\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right).\left(n^2-n+1\right)+n+1\)

\(=\left(n+1\right).\left(n^2-n+2\right)\)

Nhận thấy với \(n\inℕ^∗\Rightarrow n+1>0;n^2-n+2>0\)

nên P là hợp số 

\(x^2-2xy+y^2+4x-4y-5\)

\(=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+4-9\)

\(=\left(x-y+2\right)^2-9\)

\(=\left(x-y+2+3\right)\left(x-y+2-3\right)\)

\(=\left(x-y+5\right)\left(x-y-1\right)\)

a, = (x^2-2xy+y^2)+(4x-4y)-5

    = (x-y)^2+4.(x-y)-5

    = [(x-y)^2+4.(x-y)+4]-9

    = (x-y+2)^2-9

    = (x-y+2-3).(x-y+2+3)

    = (x-y-1).(x-y+5)

b, Xét : A = n^3+n+2 = (n^3+n)+2 = n.(n^2+1)+2

Nếu n chẵn => n.(n^2+1) chia hết cho 2 => A chia hết cho 2

Nếu n lẻ => n^2 lẻ => n^2+1 chẵn => n.(n^2+1) chia hết cho 2 => A chia hết cho 2

Vậy A chia hết cho 2 với mọi n thuộc N sao

Mà n thuộc N sao nên n.(n^2+1)+2 > 2

=> A là hợp số hay n^3+n+2 là hợp số

=> ĐPCM

Tk mk nha

Giang nó làm câu a rồi thì đây làm câu b 

Ta có : \(n^3+n+2=n^3+1+n+1=\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)+\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)

Do \(\forall\in\)N* nên n + 1 > 1 và \(n^2-n+2>1\)

Vậy \(n^3+n+2\)là hợp số

\(A=n^3+n+2=n\left(n^2+1\right)+2\)

Trường hợp 1: n=2k

=>\(A=2\left[k\left(n^2+1\right)+1\right]⋮2\)

Trường hợp 2: n=2k+1

\(A=\left(2k+1\right)\left(4k^2+4k+1+1\right)+2\)

\(=2\left(2k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)+2⋮2\)

Vậy: với mọi số nguyên dương n thì A là hợp số

n³ + n + 2

= n³ - n + 2n + 2

= n.(n² - 1) + 2.(n + 1)

= n.(n - 1).(n + 1) + 2.(n + 1)

= (n + 1).(n² - n + 2), có ít nhất 3 ước khác 1

=> n³ + n + 2 là hợp số với mọi n ϵ N* (đpcm)

Có: n³ + n + 2 = n(n²+1) + 2

- Nếu n lẻ => n² lẻ => n² + 1 chẵn => n² + 1 chia hết cho 2 => n(n²+1) chia hết cho 2

Mà n(n²+1) + 2 > 2 => n(n²+1) + 2 là hợp số => n³ + n + 2 là hợp số (1)

- Nếu n chẵn => n(n²+1) chia hết cho 2 => n(n²+1) + 2 chia hết cho 2

Mà n(n²+1) + 2 > 2 => n(n²+1) + 2 là hợp số => n³ + n + 2 là hợp số (2)

Từ (1) và (2) => n³ + n + 3 là hợp số với mọi n \(\in\) N*

Ta có

n³ + n + 2 = (n + 1)(n² - n + 2)

Ta thấy ( n + 1) > 1

n² - n + 2 > 1

Vậy n³ + n + 2 luôn chia hết cho 2 số khác 1 nên nó là hợp số

a, Với n = 1 ta có 3 ⋮ 3.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có :  k³ + 2k ⋮ 3 ( GT qui nạp).

Ta đi chứng minh : n = k + 1 cũng đúng: 

(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2

                           = (k^3+2k) + 3(k^2+k+1)

Ta có : + (k^3+2k) ⋮ 3 ( theo gt trên) 

             + 3(k^2+k+1) hiển nhiên chia hết cho 3 

Vậy mệnh đề luôn chia hết cho 3.

b, Với n = 1 ta có 12 ⋮ 6.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có: 13^k -1 ⋮ 6

Ta đi chứng minh : n = k+1 cũng đúng: 

=> 13^k.13 - 1 = 13(13^k - 1) + 12.

Có: - 13(13^k - 1) ⋮ 6 ( theo gt)

       - 12⋮6 ( hiển nhiên)

> Vậy mệnh đề luôn đúng.

Ta có: \(\sqrt{a^3+b^3+c^3}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=a+b+c\)(với a,b,c dương)

=>với mọi n dương ta cũng viết biểu thức đc dưới dạng:

\(S_n=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)

Đặt \(A=1+2+3+....+n\)

Tổng A có số số hạng theo n là:

\(\left(n-1\right):1+1=n\)(số)

Tổng A theo n là:

\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\).Thay A vào ta có:

\(\Rightarrow S_n=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Ta có công thức sau:

\(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\left(1+2+3+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\) (*)

\(\Leftrightarrow1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)

Cần chứng minh (1) đúng với mọi n dương

Với \(n=1;n=2\) thì đẳng thức đúng

Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)

Nghĩa là: \(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)

Viết lại đẳng thức cần chứng minh \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\)(**)

Ta cũng có công thức tương tự (*)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(k+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(k^2+3k+2\right)^2-\left(k^2+k\right)^2=4\left(k+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

cám ơn cô cho em công thức này, bây giờ thi toán trắc nghiệm rùi, cm làm j cho hại não phải k cô? em hài cho vui thui