-Ta chia làm 2 bài:

*C/m: Khi 6a, 2b, a+b+c và d là số nguyên thì đa thức trên có giá trị nguyên với mọi x nguyên.

- 6a nguyên \(\Rightarrow\)a nguyên.

- 2b nguyên \(\Rightarrow\)b nguyên.

- a+b+c nguyên \(\Rightarrow\)c nguyên.

\(\Rightarrow\)đpcm.

*C/m: Khi đa thức trên có giá trị nguyên với mọi x nguyên thì 6a, 2b, a+b+c và d là số nguyên.

\(f\left(0\right)=d\) nguyên.

\(f\left(1\right)=a+b+c+d\) nguyên \(\Rightarrow\) a+b+c nguyên.

\(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d\) nguyên \(\Rightarrow8a+4b+2c\) nguyên.

\(\Rightarrow4a+2b+c\) nguyên

\(\Rightarrow4a+2b+c-\left(a+b+c\right)\) nguyên.

\(\Rightarrow3a+b\) nguyên.

\(f\left(3\right)=27a+9b+3c+d\) nguyên \(\Rightarrow27a+9b+3c\) nguyên

\(\Rightarrow9a+3b+c\) nguyên

\(9a+3b+c-\left(a+b+c\right)\) nguyên.

\(\Rightarrow8a+2b\) nguyên \(\Rightarrow4a+b\) nguyên

\(\Rightarrow a,b\) nguyên.

Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x\right)-10\) (bậc 4)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(1\right)=0\\g\left(2\right)=0\\g\left(3\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-m\right)\) (m là hằng số)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-m\right)-10\\ \Leftrightarrow f\left(9\right)=8\cdot7\cdot6\left(9-m\right)-10=336\left(9-m\right)-10\\ f\left(-5\right)=\left(-6\right)\left(-7\right)\left(-8\right)\left(-5-m\right)-10=336\left(m+5\right)-10\)

Vậy \(A=336\left(9-m\right)+336\left(m+5\right)-20=4684\)

Chúc bạn hok tốt <3

Bài 2:

- Thay x=0 vào P(x) ta được:

P(0)=d => d là số lẻ.

- Thay x=1 vào P(x) ta được:

P(1)=a+b+c+d =>a+b+c+d là số lẻ mà d lẻ nên a+b+c là số chẵn.

- Gọi e là nghiệm của P(x), thay e vào P(x) ta được:

P(e)=ae³+be²+ce+d=0

=>ae³+be²+ce=-d

=>e(ae²+be+c)=-d

=>e=\(\dfrac{-d}{ae^2+be+c}\).

Ta thấy: -d là số lẻ, ae²+be+c là số chẵn nên -d không thể chia hết cho

ae²+be+c.

- Vậy P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.

Thay b=3a+c vào f(x) ta được:

f(x)=ax³+(3a+c)x²+cx+d

=ax³+3ax²+cx²+cx+d

Suy ra: f(1).f(2)=(a.1³+3a.1²+c.1²+c.1+d)[a.(-2)³+3a.(-2)²+c.(-2)²+c.(-2)+d]

=(a+3a+c+c+d)(-8a+12a+4c-2c+d)

=(4a+2c+d)(4a+2c+d)

=(4a+2c+d)²

Mà a,b,c,d là số nguyên nên: f(1).f(2) là bình phương của 1 số nguyên

ahuhu

Ta có 64 = -8a + 4b - 2c + d; -61 = 27a + 9b + 3c +d

Từ y ' = 3 a x 2 + 2 b x + c  ta thu được hai phương trình 0 = 12a - 4b + c; 0 = 27a + 6b + c

Giải hệ gồm 4 phương trình trên ta thu được a = 2; b = -3; c = -36; d = 20 hay a + b + c + d = -17

Đáp án C