a) Ta có:

\(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì trong 3 số nguyên liên tiếp, có ít nhất 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 2 nên tích n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 hay \(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6(đpcm).

b) Ta có:

\(20^{n+1}-20^n=20^n\cdot19\)

Vì \(20^n\) là số nguyên nên \(20^n\cdot19⋮19\). Hay \(20^{n+1}-20^n⋮19\left(đpcm\right)\)

Sử dụng đồng dư

Ta có:

\(\left(n+5\right)\left(n-2\right)+21=n^2+5n-2n-10+21=n^2+3n+11\)

Giả sử:

\(n^2\equiv49\)(mod 49)

\(n\equiv7\)(mod 49)

Ta có:

\(\left(n+5\right)\left(n-2\right)+21\equiv7^2+3\cdot7+11\equiv81\)(mod 49)

Mà 81 ko chia hết cho 49 nên

Kết luận ......................

a) \(A=n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Với mọi n nguyên thì A là tích của 3 số nguyên liên liếp nên A chia hết cho 3. ĐPCM

b) A chia hết cho 3 với mọi n nguyên. Vì vậy, để A chia hết cho 15 thì A sẽ chia hết cho 5.

Các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của n là: 3;4;5;8;9

a) A = n³ +3n² + 2n

A = n³ + n² + 2n² + 2n

A = n².( n+1) + 2n.(n+1)

A = (n+1).(n²+2n)

A = (n+1).n.(n+2)

A = n.(n+1).(n+2)

Vì n.(n+1).(n+2) là tích 3  số nguyên liên tiếp nên n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3

=> A chia hết cho 3

Chứng tỏ A chia hết cho 3 với mọi n nguyên

b) Ta có: 15 = 3.5

Mà (3,5)=1, A chia hết cho 3 nên ta phải tìm n nguyên dương để A chia hết cho 5

Do A = n.(n+1).(n+2) nên để A chia hết cho 5 thì trong 3 số n;n+1;n+2 có 1 số chia hết cho 5

Mặt khác n<10 nên n<n+1<n+2<12

Ta có các nhóm số thỏa mãn là: 3.4.5 ; 4.5.6 ; 5.6.7 ; 8.9.10 ; 9.10.11

Vậy các giá trị của n tìm được là: 3;4;5;8;9

chứng minh rằng:  n.(n+8).(n+13) chia hết cho 3

a ) 10ⁿ + 72n - 1 chia hết cho 81

+ ) n = 0 => 10⁰ + 72 . 0 - 1 = 0

+ ) Giả sử đúng đến n = k tức là :

( 10^k + 72k - 1 ) chia hết cho 81 ta phải chứng minh đúng đến n = k+ 1

Tức là : 10^{k + 1} + 72 x k + 71

=> 10 . 10^k + 72k + 71

=> 10 . \(\frac{10k+72k-1}{chiahetcho81}\)- \(\frac{648k+27}{chiahetcho81}\)

=> đpcm

Câu b và c làm tương tự

Đặt B= 10ⁿ+72n-1

B = 10ⁿ + 72n - 1

  = 10ⁿ - 1 + 72n

Ta có: 10ⁿ - 1 = 99...9 (có n-1 chữ số 9)  

   = 9x(11..1) (có n chữ số 1)
A = 10ⁿ - 1 + 72n = 9x(11...1) + 72n

=> A : 9 = 11..1 + 8n

thấy 11...1 có n chữ số 1 có tổng các chữ số là n => 11..1 - n chia hết cho 9
=> A : 9 = 11..1 - n + 9n chia hết cho 9

= 11...1 -n + 9n
=> A : 9 =  chia hết cho 9
=> A chia hết cho 81

a) Đặt cái cần chứng minh là ^(*)

+) Với n = 0 thì ^(*) chia hết cho 81 => ^(*) đúng

+) Giả sử ^(*) luôn đúng với mọi n = k (k \(\ge\) 0) => 10^k + 72k - 1 chia hết cho 81 thì ta cần chứng minh ^(*) cũng luôn đúng với k + 1 tức 10^{k + 1} + 72(k + 1) - 1 chia hết cho 81

Thật vậy:

10^{k + 1} + 72(k + 1) - 1

= 10^k.10 + 72k + 72 - 1

= 10^k + 72k + 9.10^k + 72 - 1

= (10^k + 72k - 1) + 9.10^k + 72

đến đây tui ... chịu :))

Nhọ Nồi Dù sao thì cx camon's -_-

Tiếp nè: Ta có: 10^k = 9n + 1 => 9.(9n + 1) + 72 = 81n + 9 + 72 = 81n + 81 chia hết cho 81 mà 10^k + 72k - 1 chia hết cho 81 theo giả thiết quy nạp => (10^k + 72k - 1) + 9.10^k + 72 chia hết cho 81

=> Phương pháp quy nạp đươch chứng minh 

Vậy 10ⁿ + 72n - 1 chia hết cho 81

Với n=1 thì 1^3+2*1=3 chia hết cho 3

Với n>1 thì Giả sử n^3+2n chia hết cho 3

Chúng ta cần chứg minh (n+1)^3+2(n+1) chia hết cho 3

\(A=\left(n+1\right)^3+2\left(n+1\right)\)

\(=n^3+3n^2+3n+1+2n+2\)

=n^3+3n^2+5n+3

=n^3+2n+3n^2+3n+3n+3

=n^3+2n+3(n^2+n+n+1) chia hết cho 3

=>ĐPCM