Cho tam giác ABC ,đường cao BE,CF cắt nhau tại K. Gọi O là trung điểm của BC, I là điểm đối xứng với K qua O.
a .Chứng minh AB vuông góc với BI
B .Chứng minh AE.AC = AF.AB ,BF.BA=BE.IC.
C .Gọi N là trung điểm của AI.Chứng minh rằng N là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC nhọn AB<AC , các đường cao AD , BE , CF Cắt nhau taih H a) Cm AE/AF=AB/AC vÀ ^AEF=^CED .
b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua D sao . Giao điểm của EF với AM là N Cm HN.AD=AN.DM
c)Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB và AC Cm ba điểm I,D,K thảng hàng
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
ANH CS THỂ THAM KHẢO
a , b tự lm nha ( dễ mà )
c) Do II đối xứng với HH qua BC⇒IH⊥BCBC⇒IH⊥BC mà HD⊥BC,D∈BC
⇒I⇒I đối xứng với HH qua D⇒DD⇒D là trung điểm của HIHI
Và MM là trung điểm của HKHK
⇒DM⇒DM là đường trung bình ΔHIKΔHIK
⇒DM∥IK⇒DM∥IK
⇒BC∥IK⇒BC∥IK
⇒BCKI⇒BCKI là hình thang
ΔCHIΔCHI có CDCD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
⇒ΔCHI⇒ΔCHI cân đỉnh CC
⇒CI=CH⇒CI=CH (*)
Mà tứ giác BHCKBHCK là hình bình hành ⇒CH=BK⇒CH=BK (**)
Từ (*) và (**) suy ra CI=BKCI=BK
Tứ giác BCKIBCKI là hình bình hành có 2 đường chéo CI=BKCI=BK
Suy ra BCIKBCIK là hình thang cân.
Tứ giác HGKCHGKC có GK∥HCGK∥HC (do BHCKBHCK là hình bình hành)
⇒HGKC⇒HGKC là hình thang có đáy là GK∥HCGK∥HC
cho ΔABC nhọn có AB < AC nội tiếp (O;R), các đường cao BE, CF cắt nhau tại H
a) C/m tứ giác BFEC nội tiếp
b) Gọi I là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua I. C/m AK⊥EF
Cho ΔABC nhọn (AC > AB) nội tiếp (O). Đường cao BD, CE cắt nhau ở H.
a. Gọi M là trung điểm BC. AO cắt (O) tại N. CM H đối xứng N qua M
b. Gọi F là giao điểm của BC và DE, AF cắt (O) tại K. CMR: FA.FK = FE.FD
c. CMR: FH ⊥ AM
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC và các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm đối xứng với H qua M, O là trung điểm của AN. CMR:
1) ĐIểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
2) (AB+CF)^2<(AC+BE)^2.
1) Ta có: BH vuông góc với AC
CK vuông góc với AC
=> BH//CK
Chứng minh tương tự ta có: CH//Bk
Xét tứ giác BHCK có: BH//CK
CH//BK
=> Tứ giác BHCK là hbh
Có M là trung điểm của BC=> M là trung điểm của HK=>M,H,K thẳng hàng
2.gọi HI cắt BC tại J
Xét tam giác HIK có: J là trung điểm của HI
M là trung điểm của HK
=> JM là đường trung bình trong tam giác HIK
=> IK//MJ hay IK//BC
Xét tam giác BHJ và tam giác BIJ có;
HJ=JI
góc BJH=góc BJI=90
BJ chung
=> Tam giác BHJ = tam giác BIJ
=> Góc HBJ= góc IBJ
Mà góc HBJ= góc BCK( do BH//CK)
Xét tứ giác BIKC có:
KI//BC
góc IBC= góc KCB
=>Tứ giác BIKC là hình thang cân
3.Xét tứ giác GHCK có: GK//HC (doBK//HC)
=> Tứ giác GHCK là hình thang
Để GHCK là hình thang cân<=>góc GHC= góc KCH(1)
mà GHC+HCB=90
KCH+HCA=90
=> (1)<=> góc HCB=góc HCA=> CH là phân giác của góc ACB
Xét tam giác ABC có : CH là phân giác của góc ACB
CH là đường cao trong tam giác ABC
=> Tam giác ABC cân tại C
Vậy tứ giác GHCK là hình thang cân<=> Tam giác ABC cân tại C
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC và các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm đối xứng với H qua M, O là trung điểm của AN. CMR:
1) ĐIểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
2) (AB+CF)^2<(AC+BE)^2.
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC và các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm đối xứng với H qua M, O là trung điểm của AN. CMR:
1) ĐIểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
2) (AB+CF)^2<(AC+BE)^2.
1) Ta có: BH vuông góc với AC
CK vuông góc với AC
=> BH//CK
Chứng minh tương tự ta có: CH//Bk
Xét tứ giác BHCK có: BH//CK
CH//BK
=> Tứ giác BHCK là hbh
Có M là trung điểm của BC=> M là trung điểm của HK=>M,H,K thẳng hàng
2.gọi HI cắt BC tại J
Xét tam giác HIK có: J là trung điểm của HI
M là trung điểm của HK
=> JM là đường trung bình trong tam giác HIK
=> IK//MJ hay IK//BC
Xét tam giác BHJ và tam giác BIJ có;
HJ=JI
góc BJH=góc BJI=90
BJ chung
=> Tam giác BHJ = tam giác BIJ
=> Góc HBJ= góc IBJ
Mà góc HBJ= góc BCK( do BH//CK)
Xét tứ giác BIKC có:
KI//BC
góc IBC= góc KCB
=>Tứ giác BIKC là hình thang cân
3.Xét tứ giác GHCK có: GK//HC (doBK//HC)
=> Tứ giác GHCK là hình thang
Để GHCK là hình thang cân<=>góc GHC= góc KCH(1)
mà GHC+HCB=90
KCH+HCA=90
=> (1)<=> góc HCB=góc HCA=> CH là phân giác của góc ACB
Xét tam giác ABC có : CH là phân giác của góc ACB
CH là đường cao trong tam giác ABC
=> Tam giác ABC cân tại C
Vậy tứ giác GHCK là hình thang cân<=> Tam giác ABC cân tại C
Cho tam giác ABC ,đường cao BE,CF cắt nhau tại K. Gọi O là trung điểm của BC, I là điểm đối xứng với K qua O.
a .Chứng minh AB vuông góc với BI
B .Chứng minh AE.AC = AF.AB ,BF.BA=BE.IC.
C .Gọi N là trung điểm của AI.Chứng minh rằng N là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC.
a: Xét tứ giác BKCI có
O là trung điểm của BC
O là trung điểm của KI
Do đó: BKCI là hình bình hành
Suy ra: BI//CK và CI=BK
=>AB\(\perp\)BI
b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
góc BAE chung
DO đó:ΔAEB đồng dạng với ΔAFC
Suy ra AE/AF=AB/AC
hay \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)
Xét ΔBFK vuông tại F và ΔBEA vuông tại E có
góc FBK chung
Do đo:S ΔBFK\(\sim\)ΔBEA
SUy ra: BF/BE=BK/BA
=>BF/BE=IC/BA
hay \(BF\cdot BA=BE\cdot IC\)
Cho tam giác ABC (AB < AC), có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O,Gọi H là giao điểm của đường cao AD, BM. Gọi N là giao điểm của CH và AB, I là trung điểm BC. K đối xứng H qua I.
a) C/m K thuộc đường tròn tâm O
b)C/m AK vuông góc với MN
Giúp em ạ cần gấp
