Xét tứ giác AMCN có : 
AM = CN ( VÌ DN = MB )
AM // CN  ( AB//BC )

Suy ra AMCN là HBH ( 2 cạnh đối song song và bằng nhau )
Ta có AC cắt BD tại O ( đường chéo hbh ABCD ) (1 ) 
          AB cắt MN tại O ( đường chéo hbh AMCN ) (2 ) 
Từ (1 ) và (2) suy ra AC, Mn, BD đồng quy

cần gấp

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Gọi I là giao của AC và BD

Ta sẽ chứng minh MN cũng đi qua I

Ta có: AB // CD => \(\frac{AI}{IC}=\frac{BI}{ID}=\frac{AB}{DC}=\frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{2}{3}DC}=\frac{AM}{NC}\)

Xét 2 tam giác: AMI và CNI có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{AM}{NC}=\frac{AI}{IC}\left(cmt\right)\\\widehat{MAI}=\widehat{NCI}\left(soletrong\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{NIC}\Rightarrow\overline{M,I,N}\) => đpcm

Tham khảo bài này nha!

Hình thang ABCD (AB//CD) có AC va BD cắt nhau tại O , AD và BC cắt nhau tại K . Chứng minh rằng OK đi qua trun?

 Tứ giác ABCD là hình thang nên:AB//CD. 
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của KO với AB,CD. 
Áp dụng định lý talet ta có: 
AM/DN=MB/NC(=KM/KN) 
=(AM+MB)/(CN+ND) (t/c dãy tỉ số bằng nhau) =AB/DC. 
=AO/OC=AM/NC. 
Vậy AM/DN=AM/NC hay DN=NC. 
tương tự MB=MA. 
hay ta có OK đi qua trung điểm của AB và CD.

:  Tứ giác ABCD là hình thang nên:AB//CD. 
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của KO với AB,CD. 
Áp dụng định lý talet ta có: 
AM/DN=MB/NC(=KM/KN) 
=(AM+MB)/(CN+ND) (t/c dãy tỉ số bằng nhau) =AB/DC. 
=AO/OC=AM/NC. 
Vậy AM/DN=AM/NC hay DN=NC. 
tương tự MB=MA. 
 ta có OK đi qua trung điểm của AB và CD.

b: Xét tứ giác ABCD có

M là trung điểm của AC

M là trung điểm của BD

Do đó: ABCD là hình bình hành

Suy ra: AB//CD

a: Xét  tứ giác ANMD có

AN//MD

AN=MD

AN=AD

=>ANMD là hình thoi

Xét tứ giác BCMN co

BN//CM

BN=CM

BN=BC

=>BCMN là hình thoi

b: Xét ΔNCD có

NM là trung tuyến

NM=CD/2

=>ΔNCD vuông tại N

c: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCND vuông tại N có

góc ADH=góc CDN

=>ΔAHD đồng dạng với ΔCND

Xét tứ giác ABCD có 

AB//CD

AB=CD
Do đó: ABCD là hình bình hành

Suy ra: AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

hay MA=MC; MB=MD

a) xét tg AECF có :  AF//EC   (vì AB//CD, tgABCD là hbh)

                              và AE//CF ( cùng ^ vsBD)

                        => tgAECF là hbh

b)xét  tg AMD và tg CNB  có:

    AD=BC (tgABCD là hbh)

AMD =CNB =90

   ADM =CBN (AD//BC)

   =>tg AMD =tg CNB (ch-gn)

    =>AM=CN      (2 cạnh t/ư )                   

xét tg AMCN có:   AM//CN  (do cùng ^ BD) và AM =CN   (cmt)

        ==>tg AMCN là hbh