\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\le1\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+12\le2\left(ab+bc+ca\right)+9\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)

Hiển nhiên đúng do: \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)

Vì abc=1 , ta đặt \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)

Điều phải chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y}{z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z}{x}}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{y}{2y+x}+\dfrac{z}{2z+y}+\dfrac{x}{2x+z}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2y}{2y+x}+\dfrac{2z}{2z+y}+\dfrac{2x}{2x+z}\le2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+y}+\dfrac{z}{2x+z}\ge1\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

\(\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+x}+\dfrac{z}{2x+z}=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

=> bài toán được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 <=>a=b=c=1

Đặt \(\left(x^3;y^3;z^3\right)=\left(a;b;c\right)\left(x,y,z>0\right)\)

\(\Rightarrow xyz=1\)

Ta cần chứng minh

\(\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)

Áp dụng AM-GM, ta có: \(x^3+y^3+1=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xyz\)

\(\ge\left(x+y\right)xy+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\le\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{y^3+z^3+1}\le\dfrac{1}{yz\left(x+y+z\right)}\)

\(\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le\dfrac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)

Cộng vế theo vế, ta được

\(....\le\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{1}{x+y+z}.\dfrac{x+y+z}{xyz}=\dfrac{1}{xyz}=1\)

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

1 slot :v

\(a^5+b^2+ab+6\ge3a^2b+6\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a^2b+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2c+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2a+2}}\right)\le\sqrt{\dfrac{1}{a^2b+2}+\dfrac{1}{b^2c+2}+\dfrac{1}{c^2a+2}}=\sqrt{Q}\)

\(Q=\dfrac{c}{a+2c}+\dfrac{a}{b+2a}+\dfrac{b}{c+2b}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{a}{a+2c}+1-\dfrac{b}{b+2a}+1-\dfrac{c}{c+2b}\right)\)

\(Q=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2}{a^2+2ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2bc}\right)\)

\(Q\le\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{1}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}}{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}{1+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}+\dfrac{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c^2}}{1+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c^2}}\le2\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\rightarrow\left(n,h,t\right)\) thì ta có :

\(\Leftrightarrow\dfrac{n+n^2}{1+n+n^2}+\dfrac{h+h^2}{1+h+h^2}+\dfrac{t+t^2}{1+t+t^2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+n+n^2}+\dfrac{1}{1+h+h^2}+\dfrac{1}{1+t+t^2}\ge1\)

Đặt \(n=\dfrac{yz}{x^2};h=\dfrac{xz}{y^2};t=\dfrac{xy}{z^2}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\)

Và \(\dfrac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}+\dfrac{y^4}{y^4+xy^2z+x^2z^2}+\dfrac{z^4}{z^4+xyz^2+x^2y^2}\ge1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)

Cần cm \(\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2y^2+y^2z^2=y^2\left(x^2+z^2\right)\ge2xy^2z\)

Tương tự rồi cộng theo vế ta có \(\left(1\right)\) đúng

Khi \(a=b=c=1\)

Sửa đề\(VP\le 2\) sau đó nó chính là 1 dạng của BĐT Vasc k cần thêm j cả :">

mấy bác hộ em nốt nhé

Bạn tham khảo:

Bài ni hay lắm mn Cho 3 số a , b , c thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\)       Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=\lef... - Hoc24