Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết
HT2k02
8 tháng 7 2021 lúc 11:14

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

\(\frac{a}{b+c} + \frac{b+c}{4a} \geq 1;\frac{b}{c+a} + \frac{c+a}{4b} \geq 1;\frac{c}{a+b} + \frac{a+b}{4c} \geq 1\)

\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2;\frac{c}{b}+\frac{b}{c} \geq 2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \geq 2\)

\(\Rightarrow A=( \frac{a}{b+c} + \frac{b+c}{4a} +\frac{b}{c+a} + \frac{c+a}{4b} +\frac{c}{a+b} + \frac{a+b}{4c}) +\frac{3}{4}(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c} +\frac{a}{c}+\frac{c}{a} )\)

\(\geq 1+1+1+\frac{3}{4} (2+2+2)=\frac{15}{2}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c>0

Nguyễn Ngọc Anh
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
30 tháng 12 2021 lúc 23:31

\(VT=\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}\right)\)

Ta có \(\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}\right)\left(a+c\right)\ge\left(\sqrt{b}+\sqrt{b}\right)^2=4b\Leftrightarrow\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}\ge\dfrac{4b}{a+c}\)

CMTT \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)\ge\dfrac{4c}{a+b};\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}\ge\dfrac{4a}{b+c}\)

Cộng VTV ta đc đpcm

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Trương pHÁT
Xem chi tiết
doraemon
Xem chi tiết
Minh Hiếu
5 tháng 5 2022 lúc 23:00

Áp dụng bđt Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

Áp dụng, thay vào A, ta có: 

\(A\le\text{Σ}\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "="⇔\(a=b=c=1\)

Vũ Anh Tuấn
5 tháng 5 2022 lúc 22:32

= chịu

doraemon
5 tháng 5 2022 lúc 23:15

Toán lớp 9

pro
Xem chi tiết
_Halcyon_:/°ಠಿ
28 tháng 5 2021 lúc 23:27

undefined

M1014-AWM
Xem chi tiết
Hồng Phúc
20 tháng 3 2021 lúc 18:55

\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\ge\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\)

\(minP=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)

hoàng minh chính
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
26 tháng 10 2021 lúc 20:18

Sửa \(\le\) thành \(\ge\) nha bạn

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

Ta có \(\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^3}{a^2+abc}=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b+ca}=\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\\\dfrac{c^2}{c+ba}=\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3}{4}a\)

\(\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{b^3}{64}}=\dfrac{3}{4}b\)

\(\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^3}{64}}=\dfrac{3}{4}c\)

Cộng VTV:

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{8}\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=3\)