a) Gọi ƯC(2n+1,4n+6) = d ( d thuộc Z)

Suy ra 2n+1 chia hết cho d

            4n+6 chia hết cho d

Suy ra 2(2n+1) chia hết cho d hay 4n+ 2 chia hết cho d

Suy ra 4n+ 6 - 4n - 2 chia hết cho d hay 4 chia hết cho d

Suy ra d thuộc {1;-1;2-2;4;-4}

Mà 2n + 1 không chia hết cho 2 và -2 nên d khác 2 và -2

      4n+6 không chia hết cho 4 và -4 nên d khác 4 và -4

Suy ra d chỉ có thể là 1 và -1

Vậy 2n+1/4n+6 là phân số tối giản với mọi n

b)CÓ LẼ SAI ĐẦU BÀI

n thuộc Z nha !

\(\text{gọi d là ƯC(15n-7;9-20n)}\)         (1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n-7⋮d\\9-20n⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}20\left(15n-7\right)⋮d\\15\left(9-20n\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}300n-140⋮d\\135-300n⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(300n-140\right)+\left(135-300n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow300n-140+135-300n⋮d\)

\(\Rightarrow\left(300n-300n\right)-\left(140-135\right)⋮d\)

\(\Rightarrow0-5⋮d\)

\(\Rightarrow-5⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(-5\right)=\left\{-1;1;-5;5\right\}\)            (2)

(1)(2) \(\RightarrowƯC\left(15n-7;9-20n\right)=\left\{-1;1;5;-5\right\}\)

                        mà \(15n-7⋮̸5\) vì \(15n⋮5;7⋮̸5\)

\(\RightarrowƯC\left(15n-7;9-20n\right)=\left\{-1;1\right\}\)

vậy phân số \(\frac{15n-7}{9-20n}\) là p\s tối giản \(\forall n\in Z\)

a: Gọi d=ƯCLN(15n+1;30n+1)

=>30n+2-30n-1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>Đây là phân số tối giản

b: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>Phân số tối giản

Để \(\dfrac{10n^2+9n+4}{20n^2+20+9}\) tối giản

\(\Rightarrow10n^2+9n+4⋮1;20n^2+20n+9⋮1\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow2\left(10n^2+9n+4\right)-\left(20n^2+20n+9\right)⋮1\)

\(\Rightarrow20n^2+18n+8-20n^2-20n+9⋮1\)

\(\Rightarrow-2n-1⋮1\) (luôn đúng \(\forall n\in N\))

\(\Rightarrow dpcm\)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phân số 10�2+9�+420�2+20�+920n2+20n+910n2+9n+4​ tối giản

Gọi d là ước chung lớn nhất của \(10n^2+9n+4\) và \(20n^2+20n+9\)

\(\Rightarrow10n^2+9n+4⋮d\Rightarrow20n^2+18n+8⋮d\)

cũng có \(20n^2+20n+9⋮d\)

\(\Rightarrow20n^2+20n+9-\left(20n^2+18n+8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n+1⋮d\)

\(\Rightarrow n+1+10n^2+9n+4⋮d\)

\(\Rightarrow10n^2+10n+5⋮d\)

\(\Rightarrow20n^2+20n+10⋮d\)

\(\Rightarrow20n^2+20n+10-\left(20n^2+20n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Do ƯCLN của tử và mẫu bằng 1 nên phân số này tối giản

 gọi ƯCLN là d.Ta có 15n+1chia hết cho d và 30n+1 cũng chia hết cho n =>nhân 15n +1 cho 2 thì ta có:

30n+1-30n+2=-1 sẽ chia hết cho d

=>d là ước của -1.=>d = 1;-1.VÌ d là ƯCLN nên d = 1

Vì ƯCLN của 15n+1/30n+1 là 1 nên ps đó tg

****mấy câu khác cũng làm tương tự.CÂU THỨ 2 THI NHÂN TỬ CHO 3 VÀ nhân MẪU CHO 5.CÂU THỨ 3 NHÂN tử cho 2**

\(\frac{15n+1}{35n+2}\)là phân số tối giản thì \(ƯCLN\left(15n+1;35n+2\right)=1\)

Ta gọi ƯCLN của mẫu và tử là d ta có :

15n + 1 \(⋮\)d

\(\Rightarrow7\left(15n+1\right)⋮d\Leftrightarrow105n+7⋮d\)

\(35n+2⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(35n+2\right)⋮d\Leftrightarrow105n+6⋮d\)

Ta có \(\left(105n+7\right)-\left(105n+6\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)hay \(d=1\)

Ta có đpcm

Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d.( d thuộc Z )

=> \(\hept{\begin{cases}15n-7⋮d\\-20n+9⋮d\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}60n-28⋮d\\-60n+27⋮d\end{cases}}\)

=> \(60n-28-60n+27⋮d\)

=> \(-1⋮d\) Hay d=1 

Vậy ƯCLN của tử và mẫu là 1, hay phân số đó là tối giản ( đpcm )

Gọi \(ƯC\left(15n-7,9-20n\right)\)là d,Ta có

\(\hept{\begin{cases}15n-7⋮d\\9-20n⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n-28⋮d\\27-60n⋮d\end{cases}}}\Rightarrow60n-28+27-60n⋮d\Rightarrow-1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)

Vậy 15n-7/9-20n tối giản

\(\frac{\left(15n-7\right)}{\left(9-20n\right)}\left(ĐK:n\ne0\right)\)

Đặt n = 1 . Thế vào biểu thức . Ta có:

\(\Leftrightarrow\frac{\left(15.1-7\right)}{\left(9-20.1\right)}=\frac{\left(15-7\right)}{\left(9-20\right)}=\frac{8}{\left(-11\right)}=\frac{\left(-8\right)}{11}\). Mà:

\(\frac{\left(-8\right)}{11}\)là phân số tối giản 

Suy ra ĐPCM