d) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\)

hay \(\widehat{B}\simeq53^0\)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=70^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{C}=37^0\)

a: Đặt HB=x; HC=y(Điều kiện: x>0 và y>0)

Xét ΔABC có AB<AC
mà HB,HC lần lượt là hình chiếu của AB,AC trên BC

nên HB<HC

mà HB+HC=BC=25

nên \(HB< \dfrac{25}{2}=12,5;HC>12,5\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HB\cdot HC=12^2=144\)

mà HB+HC=25

nên HB,HC lần lượt là các nghiệm của phương trình sau:

\(x^2-25x+144=0\)

=>\(x^2-9x-16x+144=0\)

=>x(x-9)-16(x-9)=0

=>(x-9)(x-16)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=9\\x=16\end{matrix}\right.\)

mà BH<HC

nên BH=9cm; CH=16cm

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{9\cdot25}=15\left(cm\right)\\AC=\sqrt{16\cdot25}=20\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}=12,5\left(cm\right)\)

Xét ΔAHM vuông tại H có

\(sinAMH=\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{12}{12,5}=\dfrac{24}{25}\)

=>\(\widehat{AMH}\simeq73^044'\)

c: ΔAHM vuông tại H

=>\(AH^2+HM^2=AM^2\)

=>\(HM^2=12,5^2-12^2=12,25\)

=>HM=3,5(cm)

\(S_{HAM}=\dfrac{1}{2}\cdot HA\cdot HM=\dfrac{1}{2}\cdot3,5\cdot12=6\cdot3,5=21\left(cm^2\right)\)

 Ta nhận thấy \(AH^2=\left(2\sqrt{5}\right)^2=20\) và \(BH.CH=4.5=20\) và \(AH\perp BC\) tại H nên tam giác ABC sẽ là tam giác vuông tại A. chỉ cần làm như sau:

 Vẽ đường thẳng d bất kì. Trên đó lấy 3 điểm B, C, H sao cho H nằm giữa B và C thỏa mãn \(BH=4cm,CH=5cm\)

Sau đó, ta chỉ cần dựng đường thẳng qua H vuông góc với BC cắt đường tròn đường kính BC tại A là xong.

Sau đó ta xóa đi các chi tiết thừa và được hình vẽ đúng theo ycbt.

Lê Song Phương, em ơi, em vẽ hình đẹp quá, thế điểm I; K đối xứng với H qua AB và AC của cô đâu rồi nhỉ? 

Bài này chỉ cần vẽ hình,nhưng cô tìm mãi vẫn chưa thấy I và K đâu em ha!

 Dạ thưa cô, em nghĩ là cái đó bạn tự dựng được nên em chỉ cái khó nhất cho bạn ấy thôi ạ.

a: Xét ΔABC vuông tại A có \(cosB=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(\dfrac{BA}{6}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

=>BA=3(cm)

ΔACB vuông tại A

=>\(BA^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2+3^2=6^2\)

=>\(AC^2=27\)

=>\(AC=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(CH\cdot6=27\)

=>CH=4,5(cm)

b: Sửa đề: \(\dfrac{1}{KD\cdot KC}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

Xét ΔACD vuông tại A có AK là đường cao

nên \(AK^2=KD\cdot KC\)

Xét ΔACD vuông tại A có AK là đường cao

nên \(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

=>\(\dfrac{1}{KD\cdot KC}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

c: \(\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{CBD}+60^0=180^0\)

=>\(\widehat{CBD}=120^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>\(\widehat{ACB}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔDBC có BD=BC

nên ΔBDC cân tại B

=>\(\widehat{BDC}=\widehat{BCD}=\dfrac{180^0-\widehat{DBC}}{2}=30^0\)

Xét ΔACB vuông tại A và ΔADC vuông tại A có

\(\widehat{ACB}=\widehat{ADC}\)

Do đó:ΔACB đồng dạng với ΔADC

=>\(\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{AC}{AD}\)

=>\(\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{CD}{AD}\)

mà BC=BD

nên \(\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{CD}{AD}\)

=>\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AC}{AD}=tanD\)

a) Xét ΔABC vuông tại A có \(\widehat{C}=30^0\)(gt)

mà cạnh đối diện với \(\widehat{C}\)

nên \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{2}\)(Định lí)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}\)(Tính chất tia phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{1}{2}\)

b) Ta có: \(BC=2\cdot AB\)(cmt)

nên \(BC=2\cdot12.5=25\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBAC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=25^2-12.5^2=468.75\)

hay \(AC=\dfrac{25\sqrt{3}}{2}cm\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{12\cdot\dfrac{25\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{150\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

1: Xét tứ giác AFDE có

\(\widehat{AFD}=\widehat{AED}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AFDE là hình vuông

2: Xét ΔBED vuông tại E và ΔBHA vuông tại H có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó; ΔBED∼ΔBHA