Gọi UCLN của 7n+10 và 5n+7 là d
7n+10 chia hết cho d => 5(7n+10) chia hết cho d
                                 hay 35n+50 chia hết cho d
5n+7 chia hết cho d=> 7(5n+7) chia hết cho d
                                 hay 35n+49 chia hết cho d
(35n+50)-(35n+49) chia hết cho d
35n+50-35n-49 chia hết cho d 
(35n-35n)+(50-49) chia hết cho d
0+1 chia hết cho d
1 chia hết cho d => d=1
Vì UCLN của 7n+10 và 5n+7 =1 =>7n+10 và 5n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau
 

Gọi UCLN của 7n+10 và 5n+7 là d
7n+10 chia hết cho d => 5(7n+10) chia hết cho d
                                 hay 35n+50 chia hết cho d
5n+7 chia hết cho d=> 7(5n+7) chia hết cho d
                                 hay 35n+49 chia hết cho d
(35n+50)-(35n+49) chia hết cho d
35n+50-35n-49 chia hết cho d 
(35n-35n)+(50-49) chia hết cho d
0+1 chia hết cho d
1 chia hết cho d => d=1
Vì UCLN của 7n+10 và 5n+7 =1 =>7n+10 và 5n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau
 

Gọi UCLN của 7n+10 và 5n+7 là d
7n+10 chia hết cho d => 5(7n+10) chia hết cho d
                                 hay 35n+50 chia hết cho d
5n+7 chia hết cho d=> 7(5n+7) chia hết cho d
                                 hay 35n+49 chia hết cho d
(35n+50)-(35n+49) chia hết cho d
35n+50-35n-49 chia hết cho d 
(35n-35n)+(50-49) chia hết cho d
0+1 chia hết cho d
1 chia hết cho d => d=1
Vì UCLN của 7n+10 và 5n+7 =1 =>7n+10 và 5n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi WCLN(7n+10; 5n+7) là d. Ta có:

7n+10 chia hết cho d => 35n+50 chia hết co d

5n+7 chia hết cho d => 35n+49 chia hết cho d

=> 35n+50-(35n+49) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)

=> d = 1

=> WCLN(7n+10; 5n+7) = 1

=> 7n+10 và 5n+7 nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Gọi UCLN (7n+10,5n+7) la d.

​Ta có:7n+10 chia hết cho d  

​          5n+7 chia hết cho d    

=>35n+50 chia hết cho d

    35n+49 chia het cho d

hay (35n+50) - (35n+49) chia hết cho d

=>              1                chia hết cho d

=>                   d=1

​Vay 7n+10 và 5n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

                                                          Bài giải

a, Ta có : \(8n+8=4\left(n+2\right)\text{ }⋮\text{ }4\text{ với }\forall n\in N\)

\(\Rightarrow\)Không có số tự nhiên n nào thỏa mãn đề bài

b, Gọi \(ƯCLN\left(5n+7\text{ ; }7n+10\right)=d\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\text{ }7n+10\text{ }⋮\text{ }d\\5n+7\text{ }⋮\text{ }d\end{cases}}\text{ }\Rightarrow\hept{\begin{cases}\text{ }5\left(7n+10\right)\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\\7\left(5n+7\right)\text{ }⋮\text{ }d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\text{ }35n+50\text{ }⋮\text{ }d\\35n+49\text{ }\text{ }\text{ }⋮\text{ }d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\text{ }\left(35n+50\right)-\left(35n+49\right)\text{ }⋮\text{ }d\)

\(\Rightarrow\text{ }1\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }d=1\)

\(\Rightarrow\text{ }5n+7\text{ và }7n+10\) là 2 số nguyên tố cùng nhau

Đặt ƯCLN(7n+10;5n+7)=d

{ 7n+10⁝d =) {5(7n+10)⁝d=){ 35n+50⁝d

{ 5n+7⁝d =) {7(5n+7)⁝d=){ 35n+49⁝d

=)(35n+50-35n-49)⁝d

=)1⁝d=)d=1

Vậy 7n+10 và 5n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Đặt \(7n+10;5n+7=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(7n+10⋮d\Rightarrow35n+30⋮d\)

\(5n+7⋮d\Rightarrow35n+49⋮d\)

Suy rá : \(35n+49-35n-30⋮d\Leftrightarrow19⋮d\)

Vậy ta có đpcm 

Nhầm rồi :< 

\(7n+10;5n+7=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(7n+10⋮d\Rightarrow35n+50⋮d\)

\(5n+7⋮d\Rightarrow35n+49⋮d\)

Suy ra : \(35n+50-35n-49⋮d\)

\(1⋮d\Rightarrow d=1\)Vậy ta có đpcm 

Gọi UCLN của 7n+10 và 5n+7 là d
7n+10 chia hết cho d => 5(7n+10) chia hết cho d
                                 hay 35n+50 chia hết cho d
5n+7 chia hết cho d=> 7(5n+7) chia hết cho d
                                 hay 35n+49 chia hết cho d
(35n+50)-(35n+49) chia hết cho d
35n+50-35n-49 chia hết cho d 
(35n-35n)+(50-49) chia hết cho d
0+1 chia hết cho d
1 chia hết cho d => d=1
Vì UCLN của 7n+10 và 5n+7 =1 =>7n+10 và 5n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau
 

a) n + 5 chia hết cho n - 2

=> ( n - 2 ) + 7 chia hết cho n - 2

=> 7 chia hết cho n - 2

=> n - 2 thuộc Ư(7) = { -7 ; -1 ; 1 ; 7 }

Vậy n = { -5 ; 1 ; 3 ; 10 )

b) Gọi d là ƯCLN(7n + 10 ; 5n + 7)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(7n+10\right)⋮d\\7\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(35n+50\right)-\left(35n+49\right)⋮d\)

\(\Rightarrow35n+50-35n-49⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

=> ƯCLN(7n + 10 ; 5n + 7) = 1

=> 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi n thuộc N ( đpcm ) 

Bài làm:

a) \(\frac{n+5}{n-2}=\frac{\left(n-2\right)+7}{n-2}=1+\frac{7}{n-2}\)

Để \(\left(n+5\right)⋮\left(n-2\right)\) thì \(\frac{7}{n-2}\inℤ\)

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(7\right)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{-5;1;3;9\right\}\)

b) Gọi \(\left(7n+10;5n+7\right)=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(7n+10\right)⋮d\\2\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow14n+20-\left(10n+14\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow4n+6⋮d\) , mà \(5n+7⋮d\)

\(\Rightarrow5n+7-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\pm1\)

=> 7n+10 và 5n+7 nguyên tố cùng nhau

=> đpcm

Giúp mình với mn

\(a,d=ƯCLN\left(5n+2;2n+1\right)\\ \Rightarrow2\left(5n+2\right)⋮d;5\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow\left[5\left(2n+1\right)-2\left(5n+2\right)\right]⋮d\\ \Rightarrow-1⋮d\Rightarrow d=1\)

Suy ra ĐPCM

Cmtt với c,d

a) gọi d là \(UCLN\left(5n+2;2n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+2⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow5\left(2n+1\right)-2\left(5n+2\right)=10n+5-10n-4⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\\ \RightarrowƯCLN\left(5n+2;2n+1\right)=1\)b) gọi d là \(UCLN\left(7n+10;5n+7\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow5\left(7n+10\right)-7\left(5n+7\right)=35n+50-35n-49⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\\ \RightarrowƯCLN\left(7n+10;5n+7\right)=1\)

d) gọi d là \(UCLN\left(3n+1;5n+2\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+1⋮d\\5n+2⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow3\left(5n+2\right)-5\left(3n+1\right)=15n+6-15n-5⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\\ \RightarrowƯCLN\left(3n+1;5n+2\right)=1\)