Xét ΔBAG có DE//AG

nên DE/AG=BD/BA(1)

Xét ΔCAK có DE//AK

nên DE/AK=CE/CA(2)

Xét ΔABC có DE//BC

nên BD/BA=CE/CA(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AK=AG

hay A là trung điểm của KG

a) Xét tam giác vuông ECA và EDA có:

Cạnh EA chung

CA = DA (gt)

\(\Rightarrow\Delta ECA=\Delta EDA\)  (Cạnh huyền, cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{DAE}\) (Hai cạnh tương ứng)

Hya AE là phân giác góc CAB.

b) Theo câu a, \(\Delta ECA=\Delta EDA\Rightarrow EC=ED\)

Ta có EC = ED; AC = AD nên AE là trung trực của CD.

c) Kẻ CH vuông góc AB.

Ta luôn có D nằm giữa B và H nên HD < HB

Vậy thì CD < CB (Quan hệ đường xiên hình chiếu)

d) Ta có I là trung điểm của CD; M là trung điểm của BC nên DM, BI là các đường trung tuyến của tam giác BCD.

Vậy G là trọng tâm hay CK cũng có trung tuyến.

 Vậy K là trung điểm BD.

+ Xét \(\Delta ABC\)có :

\(DE//BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)( định lí Ta - lét ) (1)

+ Xét \(\Delta DBC\)có :

\(AK//BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AK}{BC}=\frac{AD}{DB}\)( định lí Ta - lét ) (2)

+ Xét \(\Delta BEC\)có:

\(AG//BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{EC}\)( định lí Ta - lét ) (3)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{AK}{BC}=\frac{AG}{BC}\)

\(\Rightarrow AK=AG\)

\(\Rightarrow A\)là trung điểm của KG (đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!

c) *MOHD nội tiếp (cmb) \(\Rightarrow\)^DHB = ^DOM Mà ^DHM +^BHD=180 và ^DOM +^EOD =180 => ^EOD = ^BHD  

  Mặt khác, ^EOD =^BQD (OM // BQ) => ^BHD = ^BQD => BHQD nội tiếp.

=>đpcm

d) Kéo dài BQ cắt AC tại J

Cm Q là trung điểm BJ (đường trung bình)

Cm \(\frac{EO}{BQ}\)\(=\)\(\frac{OF}{QJ}\)(\(=\)\(\frac{AO}{AQ}\)) \(\Rightarrow\)Đpcm

Hình vẽ ko chuẩn xác cho lắm 

Chứng minh \(\Delta AHC\)là \(\Delta\)vuông

Xét \(\Delta ECI\)và \(\Delta DBI\)có:

\(EI=ID\) ( giả thiết )

\(BI=IC\)( I là trung điểm của \(BC\))

\(\widehat{EIC}=\widehat{DIB}\)( 2 góc đối đỉnh)

do đó \(\Delta ECI=\Delta DBI\)( C.G.C)

\(\Rightarrow\widehat{CEI}=\widehat{BDI}\)( 2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow EC\)song song với \(BD\)

mà \(H\)là giao điểm của \(EC\)và \(AB\)

\(\Rightarrow H\in EC\)

\(\Rightarrow HC\)song song với \(BD\)

theo bài ra \(BD\perp AB\)cắt \(AI\)tại \(D\)

\(\Rightarrow HC\perp AB\) ( 2 góc ở vị trí đồng vị do \(HC\)và \(BD\)tạo thành)

\(\Rightarrow\Delta AHC\)vuông tại \(H\) ( điều phải chưng minh)

vậy \(\Delta AHC\)vuông tại \(H\)