cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a<b và\(\dfrac{1+ab}{b-a}< \sqrt{3}\). tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=\(\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{a\left(a+b\right)}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn
log
a
b
2
. Tính
log
a
b
b
3
.
a
A.
-
10
9
B.
2
3
C.
-
2
9...
Đọc tiếp
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn log a b = 2 . Tính log a b b 3 . a
A. - 10 9
B. 2 3
C. - 2 9
D. 2 15
Đáp án A
Ta có b = a 2 ⇒ P = log a 3 b 6 a 6 b 2 = log a 3 a 12 a 10 = 10 log a - 9 a = - 10 9 .
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn
log
a
b
2
. Tính
log
a
b
(
b
3
.
a
)
Đọc tiếp
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn log a b = 2 . Tính log a b ( b 3 . a )
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a + b ≤ 2.
Chứng minh a2/a2 + b2/b2 + a ≤ 1
Sửa đề : \(\dfrac{a^2}{a^2+b}+\dfrac{b^2}{b^2+a}\le1\\ \) (*)
\(< =>\dfrac{a^2\left(b^2+a\right)+b^2\left(a^2+b\right)}{\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)}\le1\\ < =>a^2b^2+a^3+b^2a^2+b^3\le\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)\) ( Nhân cả 2 vế cho `(a^{2}+b)(b^{2}+a)>0` )
\(< =>a^3+b^3+2a^2b^2\le a^2b^2+b^3+a^3+ab\\ < =>a^2b^2\le ab\\ < =>ab\le1\) ( Chia 2 vế cho `ab>0` )
Do a,b >0
Nên áp dụng BDT Cô Si :
\(2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}< =>\sqrt{ab}\le1\\ < =>ab\le1\)
Do đó (*) luôn đúng
Vậy ta chứng minh đc bài toán
Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b>0,a+b=2< =>a=b=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)
a Sửa đề : Chứng minh \(\dfrac{a^2}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2}{b^2+a}\)\(\le\) 1 ( Đề thi vào 10 Hà Nội).
Bất đẳng thức trên tương đương :
\(\dfrac{a^2+b-b}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2+a-a}{b^2+a}\)\(\le\)1
\(\Leftrightarrow\) 1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\)+ 1 - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)1
\(\Leftrightarrow\)1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\) - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)0
\(\Leftrightarrow\)- \(\dfrac{b}{a^2+b}\)- \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)-1
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{a}{b^2+a}\)+ \(\dfrac{b}{a^2+b}\)\(\ge\)1
Xét VT = \(\dfrac{a^2}{ab^2+a^2}\)+ \(\dfrac{b^2}{a^2b+b^2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab^2+a^2+a^2b+b^2}\) (Cauchy - Schwarz)
= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(b+a\right)+a^2+b^2}\)
\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a^2+b^2}\)
= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)= 1
Vậy BĐT được chứng minh
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = 1
Đúng 0
Bình luận (0)
1) cho các số thực dương a,b thỏa mãn 3a+ble1. Tìm Min của Pdfrac{1}{a}+dfrac{1}{sqrt{ab}}2) Với hai số thực a,b không âm thỏa mãn a^2+b^24. Tìm Max Mdfrac{ab}{a+b+2}3) Cho x,y khác 0 thỏa mãn left(x+yright)xyx^2+y^2-xy. Tìm Max Adfrac{1}{x^3}+dfrac{1}{y^3}
Đọc tiếp
1) cho các số thực dương a,b thỏa mãn \(3a+b\le1\). Tìm Min của \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)
2) Với hai số thực a,b không âm thỏa mãn \(a^2+b^2=4\). Tìm Max \(M=\dfrac{ab}{a+b+2}\)
3) Cho x,y khác 0 thỏa mãn \(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\). Tìm Max \(A=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}\)
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
Đúng 1
Bình luận (0)
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn
a
2
+
b
2
98
a
b
. Khẳng định nào sau đây đúng ? A.
2
log
2
a
+
b
log
2
a
+
log
2
b
B.
log...
Đọc tiếp
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a 2 + b 2 = 98 a b . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. 2 log 2 a + b = log 2 a + log 2 b
B. log 2 a + b 2 = log 2 a + log 2 b
C. 2 log 2 a + b 10 = log 2 a + log 2 b
D. log 2 a + b 10 = 2 log 2 a + log 2 b
Chọn C.
Phương pháp: Để làm tốt dạng toán này chúng ta cần quan sát 4 đáp án xem có đặc điểm gì chung. Từ đó tìm ra phép biến đổi phù hợp.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn
a
2
+
b
2
98
a
b
. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Đọc tiếp
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a 2 + b 2 = 98 a b . Khẳng định nào sau đây đúng ?
Cho a, b là hai số thực dương và
a
≠
1
thỏa mãn
log
a
b
2
. Tính giá trị biểu thức
P
log
a
2
b
b
2
a
A.
P
2...
Đọc tiếp
Cho a, b là hai số thực dương và a ≠ 1 thỏa mãn log a b = 2 . Tính giá trị biểu thức P = log a 2 b b 2 a
A. P = 2 + 3 2 2
B. P = 2 2 2 + 1
C. P = 2 - 1 2 + 1
D. P = - 6 + 5 2 2
Cho a, b là hai số thực dương và
a
≠
1
thỏa mãn
log
a
b
2
.
Tính giá trị biểu thức
P
log...
Đọc tiếp
Cho a, b là hai số thực dương và a ≠ 1 thỏa mãn log a b = 2 . Tính giá trị biểu thức P = log a 2 b b 2 a .
A. P = 2 + 3 2 2 .
B. P = 2 2 2 + 1 .
C. P = 2 - 1 2 + 1 .
D. P = − 6 + 5 2 2 .
Cho a, b là hai số thực dương và
a
≠
1
thỏa mãn
log
a
b
2
Tính giá trị biểu thức
P
log
a
2
b
b
2
a
A.
P
...
Đọc tiếp
Cho a, b là hai số thực dương và a ≠ 1 thỏa mãn log a b = 2 Tính giá trị biểu thức P = log a 2 b b 2 a
A. P = 2 + 3 2 2
B. P = 2 2 2 + 1
C. P = 2 - 1 2 + 1
D. P = - 6 + 5 2 2
Cho hai số thực dương a; b thỏa mãn log2(a + 1) + log2(b + 1) ≥ 6 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b là
A.12
B.14
C. 8
D.16
Chọn B.
Ta có 6 ≤ log2(a + 1) + log2(b + 1) = log2[(a + 1)(b + 1) ]
Suy ra: 
hay ( a + b) 2 + 4( a + b) + 4 ≥ 256
Tương đương: (a + b) 2 + 4(a + b) - 252 ≥ 0
Suy ra: a + b ≥ 14
Đúng 0
Bình luận (0)