cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1
tìm giá trị lớn nhất của A=\(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2≥y+z .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \(\dfrac{1}{x^2}\left(y^2+z^2\right)+\dfrac{7x^2}{2}\left(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)+2007\)
Lời giải:
Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$
$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)
$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)
Vậy $P_{\min}=2022$
Các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = \(\dfrac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Giúp mình với mình cần gấp
Hướng dẫn: đặt \(A=\dfrac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Khi đó \(F-A=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow F=A\)
\(\Rightarrow2F=F+A=\sum\dfrac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{4\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\dfrac{x+y+z}{2}\Rightarrow F\ge\dfrac{x+y+z}{4}\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn các điều kiện \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}\) và \(\left|x+y\right|=\left|z-1\right|\). Tìm x,y,z
Lời giải:
Áp dụng TCDTSBN:
$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1$
$\Rightarrow x=y; y=z; z=x\Rightarrow x=y=z$
Khi đó:
$|x+y|=|z-1|$
$\Leftrightarrow |2x|=|x-1|$
$\Rightarrow 2x=x-1$ hoặc $2x=-(x-1)$
$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$ (đều thỏa mãn)
Vậy $(x,y,z)=(-1,-1,-1)$ hoặc $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm GTNN của biểu thức \(A=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
Cho x,y,z lớn hơn 0 thỏa mãn 13x+5y+12z=9. Tìm GTLN của biểu thức \(b=\dfrac{xy}{2x+y}+\dfrac{3yz}{2y+z}+\dfrac{6zx}{2z+x}\)
Giúp mk nhanh nhé mọi người ơi
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y +z = xyz .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = \(\dfrac{y+2}{x^2}+\dfrac{z+2}{y^2}+\dfrac{x+2}{z^2}\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A =\(\dfrac{1}{x+y+z}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}\)
1. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+z=3\\x^2+y^2+z^2=5\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{x+y-2}{z+2}\) đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
2. Cho \(f\left(x\right)=2021x^2+\dfrac{6y^2}{2021}-4xy-\dfrac{y}{2021}+x+\dfrac{m^2}{2021}\)
Tìm m để \(f\left(x\right)>0\forall x,y\)
3. Cho hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x+1\right|\le1\\\dfrac{x}{m}< 1\end{matrix}\right.\) (m ≠ 0 là tham số thực)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bpt có đúng 3 nghiệm nguyên
a) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x2+y2+z2=3, tìm giá trị nhỏ nhất của F=\(\dfrac{x^2+1}{z+2}\)+\(\dfrac{y^2+1}{x+2}\)+\(\dfrac{z^2+1}{y+2}\)
b) Với a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=3, chứng minh rằng
\(\sqrt{\dfrac{a}{a+3}}\) +\(\sqrt{\dfrac{b}{b+3}}\)+\(\sqrt{\dfrac{c}{c+3}}\)\(\le\)\(\dfrac{3}{2}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y-z}=\dfrac{2020}{2021}\)
Tính giá trị biểu thức \(M=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{\sqrt{z}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+y-z}}\)
Lời giải:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y-z}\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y-z}=\frac{x+y}{z(x+y-z)}\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(\frac{1}{xy}-\frac{1}{z(x+y-z)})=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{z(x+y-z)-xy}{xyz(x+y-z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{(z-x)(y-z)}{xyz(x+y-z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(z-x)(y-z)=0\)
Xét các TH sau:
TH1: $x+y=0$. TH này loại do ĐKXĐ $x,y>0$
TH2: $z-x=0\Leftrightarrow z=x$
$\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{2020}{2021}$
\(M=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{2}{\sqrt{y}}=2\sqrt{\frac{2020}{2021}}\)
TH3: $y-z=0$ tương tự TH2, ta có \(M=2\sqrt{\frac{2020}{2021}}\)