Dãy số u n cho bởi u 1 = 3 , u n + 1 = 1 + u n 2 , n > 1
a. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
a. Năm số hạng đầu của dãy số
b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số:
un =√(n+8) (1)
Rõ ràng (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là uk = √(k+8)
⇒ (1) đúng với n = k + 1
⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.
Cho dãy số u n , biết u 1 = - 1 , u n + 1 = u n + 3 v ớ i n ≥ 1 .
a. Viết năm số hạng đầu của dãy số;
b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u n = 3 n – 4
a. u1 = - 1, un + 1 = un + 3 với n > 1
u1 = - 1;
u2 = u1 + 3 = -1 + 3 = 2
u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5
u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8
u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11
b. Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 (1)
+ Khi n = 1 thì u1 = 3.1 - 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1.
+ Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là uk = 3k – 4.
+ Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: uk+1 = 3(k+1) - 4
Thật vậy,ta có : uk + 1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.
⇒ (1) đúng với n = k + 1
Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.
Cho dãy số u n biết u 1 = 2 , u n + 1 = 2 u n – 1 ( v ớ i n ≥ 1 )
a.Viết năm số hạng đầu của dãy.
b.Chứng minh u n = 2 n - 1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
a. 5 số hạng đầu dãy là:
u1 = 2;
u2 = 2u1 – 1 = 3;
u3 = 2u2 – 1 = 5;
u4 = 2u3 – 1 = 9;
u5 = 2u4 – 1 = 17
b. Chứng minh un = 2n – 1 + 1 (1)
+ Với n = 1 ⇒ u1 = 21 - 1 + 1 = 2 (đúng).
+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 2k-1 + 1 (1)
Ta chứng minh: uk+1 = 2k + 1. Thật vậy, ta có:
⇒ uk+1 = 2.uk – 1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k – 1 + 2 – 1 = 2k + 1
⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .
Vậy un = 2n – 1 + 1 với mọi n ∈ N.
Cho dãy số ( u n ) u 1 = 1 ; u 2 = 2 u n + 1 = 2 u n - u n - 1 + 1 v ớ i n ≥ 2
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;
b) Lập dãy số ( v n ) với v n = u n + 1 − u n . Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng;
Cho dãy số biết :
với
Viết năm số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n
u1=-1
u2=-1+3=2
u3=2+3=5
u4=5+3=8
u5=8+3=11
Công thức tổng quát là: \(U_n=U_1+\left(n-1\right)\cdot\left(3\right)=-1+3n-3=3n-4\)
Cho dãy số ( u n ) với u n = n 2 - 4 n + 3
a) Viết công thức truy hồi của dãy số;
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;
c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.
Cho dãy số u 1 = 1 3 u n + 1 = n + 1 u n 3 n v ớ i n ≥ 1
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Lập dãy số ( v n ) với v n = u n n . Chứng minh dãy số ( v n ) là cấp số nhân.
c) Tìm công thức tính ( u n ) theo n.
a) Năm số hạng đầu là
b) Lập tỉ số
Theo công thứcđịnh nghĩa ta có
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy, dãy số ( v n ) là cấp số nhân, có v 1 = 1 / 3 , q = 1 / 3
c) Để tính ( u n ) , ta viết tích của n - 1 tỉ số bằng 1/3
Cho dãy số (un) được xác định như sau: u 1 = 1 u n = 3 u n - 1 + 1 2 u n - 1 - 2 , n ≥ 2 Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un > 0, ∀ n
Chọn B.
Ta có: u1 = 1; u2 = 3/2; u3 = 17/6; u4 = 227/34.
Ta chứng minh un > 0 bằng quy nạp.
Giả sử un > 0, khi đó:
Nên .
Cho dãy số u n xác định bởi u 1 = 321 và u n + 1 = u n - 3 với mọi n ∈ N * . Tính tổng S của 125 số hạng đầu tiên của dãy số đó.
A. S = 16875
B. S = 63375
C. S = 63562,5
D. S = 16687,5