- Hình tự vẽ nha

a, - Xét \(\Delta PCN\) và \(\Delta PAM\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MPN}\left(chung\right)\\PN=PM\left(gt\right)\\\widehat{PAM}=\widehat{PCN}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta PCN\) = \(\Delta PAM\) ( Ch - gn )

=> PC = PA ( cạnh tương ứng )

- Xét tam giác PAC có : PC = PA ( cmt )

=> Tam giác PAC cân tại P .

=> \(\widehat{PAC}=\frac{180^o-\widehat{MPN}}{2}\)

Mà tam giác PMN cân tại P .

=> \(\widehat{PMN}=\frac{180^o-\widehat{MPN}}{2}\)

=> \(\widehat{PAC}=\widehat{PMN}\)

Mà 2 góc trên ở vị trí đồng vị .

=> CA // MN .

a) Xét Δ vuông PMA và Δ vuông PNC, có:

\(\widehat{P}\) là góc chung

PM=PN (gt)

⇒ΔPMA=ΔPNC (c.h-g.n)

⇒PC=PA (2 cạnh tương ứng)

b)

Ta có: MA và NC là các đường cao và giao nhau tại I

⇒ Tia PI là đường cao thứ 3

⇒PK là đường cao.

Ta lại có: ΔMNP cân

⇒MA;NC;PK đồng thời là đường trung trực

⇒ MK=NK

⇒K là trung điểm MN

Giúp mình đi

a, Ta có: tam giác MNP cân tại P

=> góc PMN = góc PNM

Và PM = PN

Xét tam giác MNC vuông tại C và tam giác NMA vuông tại A:

+ góc PMN = góc PNM ( cmt)

+ MN là cạnh chung

==> tam giác MNC = tam giác NMA ( CH-GN)

=> MC= NA ( 2 cạnh tương ứng)

Ta có: PM = PN ( cmt)

MC = MA ( cmt)

PM = PC+MC

PN= PA+MA

==> PA=PC

Nối C và A

Trong tam giác PCA, có: PC=PA ( cmt)

==> tam giác PCA cân tại C

==> góc PCA = góc PAC = \(\dfrac{180-gócP}{2}\) (1)

Ta có: tam giác MNP cân tại P( gt):

==> góc PMN= góc PNM = \(\dfrac{180-gócP}{2}\) (2)

Từ (1), (2) => góc PAC = góc PNM

mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

==> CA//MN (DHNB)

b, Xét tam giác PCI vuông tại C và tam giác PAI:

+ PC=PA ( cmt)

+ PI là cạnh chung

==> tam giác PCI = tam giác PAI ( CH-CGV)

==> góc CPI= góc API ( 2 góc tương ứng)

Xét tam giác MPK và tam giác NPK:

+ PM= PN ( cmt)

+ góc CPI= góc API ( cmt)

+ PK là cạnh chung

==> tam giác MPK = tam giác NPK ( C-G-C)

==> MK =NK ( 2 cạnh tương ứng)

mà điểm K nằm giữa điểm M và N

==> K là trung điểm của MN

a) Xét \(\Delta\) vuông PMA và \(\Delta\) vuông PNC, có:

\(\widehat{P}\) là góc chung

PM=PN (gt)

\(\Rightarrow\Delta PMA=\Delta PNC\) (c.h-g.n)

\(\Rightarrow\)PC=PA (2 cạnh tương ứng)

b)

Ta có: MA và NC là các đường cao và giao nhau tại I

\(\Rightarrow\) Tia PI là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow\)PK là đường cao.

Ta lại có: \(\Delta\)MNP cân

\(\Rightarrow\) MA;NC;PK đồng thời là đường trung trực

\(\Rightarrow\) MK=NK

\(\Rightarrow\)K là trung điểm MN

a.Xét tam giác AMH và tam giác NMB có 

          MA = MN [ gt ]

         góc AMH = góc NMB [ đối đỉnh ]

         HM = BM [ gt ]

Do đó ; tam giác AMH = tam giác NMB [ c.g.c ]

\(\Rightarrow\)góc AHM = góc NBM 

mà bài cho góc AHM = 90độ

\(\Rightarrow\)góc NBM = 90độ

Vậy NB vuông góc với BC 

b.Theo câu a ; tam giác AMH = tam giác NMB 

\(\Rightarrow\)AH = NB [ cạnh tương ứng ]

Mặt khác ; Xét tam giác AHB vuông tại H có 

AB lớn hơn AH 

\(\Rightarrow\)AB lớn hơn NB 

δγΣαγηθλΣϕΩβΔ

Xét △AMD và △DMC

   AB=AC(giả thuyết)

   Cạnh AM là cạnh chung 

   BM= CM ( M là trung điểm của cạnh BC)

=> △AMD=△DMC

Sorry bạn nhé mk chỉ bt làm câu a thui ☹
   

e) Gọi O là giao điểm của IP và HK. Chứng minh \(\widehat{MON}\) = 180^o + \(\widehat{PMO}+\widehat{PNO}+\widehat{HIK}\)

a) Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :

\(PM=PN\) (tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của \(\widehat{MPN}\) )

\(PI:chung\)

=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(c.g.c\right)\)

*Cách khác :

Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :

\(\widehat{PMI}=\widehat{PNI}\) (tam giác MNP cân tại P)

\(PM=PN\)(tam giác MNP cân tại P)

\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của góc MPN)

=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(g.c.g\right)\)

b) Xét \(\Delta PEI;\Delta PFI\) có :

\(\widehat{PEI}=\widehat{PFI}\left(=90^{^O}\right)\)

\(PI:Chung\)

\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta PEI=\Delta PFI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)

c) Ta chứng minh được \(\Delta PIK=\Delta PIH\left(g.c.g\right)\)

Suy ra : \(PK=PH\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta PHK\) có :

\(PK=PH\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta PHK\) cân tại P (đpcm)

d) Xét \(\Delta PEF\) cân tại E có :

\(\widehat{PEF}=\widehat{PFE}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta PKH\) cân tại P (cmt) có :

\(\widehat{PKH}=\widehat{PHK}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{PEF}=\widehat{PKH}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này đều ở vị trí đồng vị

=> \(\text{EF // HK (đpcm)}\)

Câu 1:

a) Ta có: AB² + BC² = 6² + 8² = 100

Mà: CA² = 10² = 100

=> CA² = AB² + BC²

=> \(\bigtriangleup ABC\) vuông tại B

b) Xét \(\bigtriangleup ABC\) vuông tại B:

Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{C}=90^{\circ}\) (Hai góc phụ nhau)

=> \(\widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{A}=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}\)

Câu 1 :

a) Xét \(\Delta ABC\) có :

\(AB^2+BC^2=CA^2\) (Định lí PITAGO đảo)

=> \(6^2+8^2=CA^2\)

=> \(CA^2=100\)

=> \(CA=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Mà theo bài ra : \(CA=10cm\)

=> \(\Delta ABC\) vuông tại B (đpcm)

b) Xét \(\Delta ABC\) có :

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{^O}\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)

Hay : \(55^o+90^o+\widehat{C}=180^o\)

=> \(\widehat{C}=180^o-\left(55^o+90^o\right)=35^o\)

Câu 2 :

a) Xét \(\Delta PAM,\Delta PCN\) có :

\(\widehat{P}:chung\)

\(PM=PN\)(ΔMNP cân tại P)

\(\widehat{PAM}=\widehat{PCN}\left(=90^{^O}\right)\)

=> \(\Delta PAM=\Delta PCN\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(PC=PA\) (2 cạnh tương ứng) => đpcm

Xét \(\Delta PAC\) cân tại A (PC = PA) có :

\(\widehat{PCA}=\widehat{PAC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta MNP\) cân tại P(gt) có :

\(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{PCA}=\widehat{PMN}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{P}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(CA//MN\) (đpcm)

b) Xét \(\Delta CMN,\Delta ANM\) có :

\(\widehat{CMN}=\widehat{ANM}\) (ΔMNP cân tại P)

\(MN:Chung\)

\(\widehat{MCN}=\widehat{NAM}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta CMN=\Delta ANM\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\) (2 góc tương ứng)

Xét ΔIMN có :

\(\widehat{IMN}=\widehat{INM}\) (do\(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\))

=> \(\text{ ΔIMN}\) cân tại I (đpcm)

c) Xét \(\Delta PMK,\Delta PNK\) có:

\(PM=PN\) (ΔMNP cân tại P)

\(\widehat{PMK}=\widehat{PNK}\) (ΔMNP cân tại P)

\(PK:Chung\)

=> \(\Delta PMK=\Delta PNK\left(c.g.c\right)\)

=> MK = NK (2 cạnh tương ứng)

DO đó : K là trung điểm của MN

cảm ơn 2 bạn