Biện luận phương trình:
\(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) + \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{1}{a+b+x}\)
(a, b là các tham số)
Giải các phương trình sau :
A) \(\dfrac{7x-1}{2}\)+2x=\(\dfrac{16-x}{3}\)
B)\(\dfrac{x+1}{x-2}\)+\(\dfrac{x-1}{x+2}\)=\(\dfrac{2\left(x^2+2\right)}{x^2-4}\)
a)\(\dfrac{7x-1}{2}+2x=\dfrac{16-x}{3}\)
\(\dfrac{\left(7x-1\right).3}{2.3}+\dfrac{2x.6}{6}=\dfrac{\left(16-x\right)2}{3.2}\)
khử mẫu
=> (7x-1).3+12x=(16-x).2
=>21x-3+12x=-2x+32
=>21x-3+12x+2x-32=0
=>35x-35=0
b)\(\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{2\left(x^2+2\right)}{x^2-4}\)
ĐKXĐ: x khác +-2
\(\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\dfrac{2\left(x^2+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)
khử mẫu
(x+1).(x+2)+(x-1)(x-2)=2x2+4
=>x2+x+2+x+2+x2-2x-x+2=2x2+4
=>x2+x+2+x+2+x2-2x-x+2-2x2-4=0
=>(x2+x2-2x2)+(x+x-2x-x)+(2+2+2-4)=0
=>-x+2=0
=>-x=-2
=>x=2(loại)
vậy pt vô nghiệm
Tìm m để phương trình \(\dfrac{2}{x-m}-\dfrac{5}{x+m}=1\)( x là ẩn số ) có 1 nghiệm bằng 3. Tổng các giá trị m tìm được bằng :
Thay x=3 vào pt ta có:
\(\dfrac{2}{x-m}-\dfrac{5}{x+m}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2}{3-m}-\dfrac{5}{3+m}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2\left(3+m\right)-5\left(3-m\right)}{\left(3-m\right)\left(3+m\right)}=1\\ \Rightarrow6+2m-15+5m=3^2-m^2\\ \Leftrightarrow-9+7m-9+m^2-0\\ \Leftrightarrow m^2+7m-18=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-9\end{matrix}\right.\)
cho a,b là các số dương. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)≥\(\dfrac{4}{a+b}\)
-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz cho các cặp số dương (1,1) ở tử và (a,b) ở mẫu ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).
-Hoặc có thể c/m bằng phép biến đổi tương đương:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab.\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Giải các phương trình
a)5x-3=7
b)(x+3)(x-4)=0
c)/x\(^2\)+2014/=1
d)\(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{3x-11}{x^2-2x-3}\)
a) \(5x-3=7\)
\(\Leftrightarrow5x=7+3\)
\(\Leftrightarrow5x=10\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{10}{5}\)
\(\Leftrightarrow x=2\)
Vậy \(S=\left\{2\right\}\)
b) \(\left(x+3\right)\left(x-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+3=0\) hoặc \(x-4=0\)
*) \(x+3=0\)
\(x=0-3\)
\(x=-3\)
*) \(x-4=0\)
\(x=0+4\)
\(x=4\)
Vậy \(S=\left\{-3;4\right\}\)
c) \(\left|x^2+2014\right|=1\)
\(\Leftrightarrow x^2+2014=1\) hoặc \(x^2+2014=-1\)
*) \(x^2+2014=1\)
\(\Leftrightarrow x^2=1-2014\)
\(\Leftrightarrow x^2=-2013\) (vô lý)
*) \(x^2+2014=-1\)
\(\Leftrightarrow x^2=-1-2014\)
\(\Leftrightarrow x^2=-2015\) (vô lý)
Vậy \(S=\varnothing\)
d) \(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{3x-11}{x^2-2x-3}\) (1)
ĐKXĐ: \(x\ne-1;x\ne3\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2\left(x-3\right)-\left(x+1\right)=3x-11\)
\(\Leftrightarrow2x-6-x-1=3x-11\)
\(\Leftrightarrow-2x=-11+7\)
\(\Leftrightarrow-2x=-4\)
\(\Leftrightarrow x=2\) (nhận)
Vậy \(S=\left\{2\right\}\)
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{a+c}\)
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\) ( Svac-xơ, Cauchy các kiểu -,- )
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}}{2}=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\) ( đpcm )
...
\(2VP=\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\)
\(\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VT\)
Từ đây,ta có: \(2VT\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(đpcm\right)}\)
Giải các phương trình và bất phương trình sau
a)\(\left|x-9\right|\) \(=2x+5\)
b) \(\dfrac{1-2x}{4}\) \(-2\) ≤ \(\dfrac{1-5x}{8}\) + x
c)\(\dfrac{2}{x-3}\)\(+\dfrac{3}{x+3}\)\(=\dfrac{3x+5}{x^2-9}\)
|x-9|=2x+5
Xét 3 TH
TH1: x>9 => x-9=2x+5 =>-9-5=x =>x=-14 (L)
TH2: x<9 => 9-x=2x+5 => 9-5=3x =>x=4/3(t/m)
TH3: x=9 =>0=23(L)
Vậy x= 4/3
Ta có:\(\dfrac{1-2x}{4}-2\le\dfrac{1-5x}{8}+x\\ \)
\(\dfrac{2-4x-16}{8}\le\dfrac{1-5x+8x}{8}\)
\(-4x-14\le1+3x\\ \Leftrightarrow7x+15\ge0\\ \Leftrightarrow x\ge-\dfrac{15}{7}\)
Ta có:
\(\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{3}{x+3}=\dfrac{3x+5}{x^2-9}\)
\(\dfrac{2\left(x+3\right)+3\left(x-3\right)}{x^2-9}=\dfrac{3x+5}{x^2-9}\)
\(5x-4=3x+5\Leftrightarrow2x=9\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{2}\)
1, giải phương trình
a, 2( x - 0,5 ) + 3 = 0,25(4x - 1 )
b , 2.\(\left(x-\dfrac{1}{4}\right)-4=-6\left(-\dfrac{1}{3}x+0,5\right)+2\)
2, giải các phương trình
a, \(\dfrac{3x-2}{2}=\dfrac{1-2x}{3}\)
b, \(\dfrac{x-1}{3}+2=3-\dfrac{2x+5}{4}\)
c, \(\dfrac{x-1}{5}+x=\dfrac{x+1}{7}\)
d, 2(x - 2,5 ) = 0,25 +\(\dfrac{4x-3}{8}\)
các bạn ơi ! giúp mik với ! mai kiểm tra rồi
2.a)\(\dfrac{3\text{x}-2}{2}\)=\(\dfrac{1-2\text{x}}{3}\)
<=>\(\dfrac{9\text{x}-6}{6}\)=\(\dfrac{2-4\text{x}}{6}\)
<=>9x-6=2-4x
<=>9x+4x=2+6
<=>13x=8
<=>x=\(\dfrac{8}{13}\)
1.a)2(x-0,5)+3=0,25(4x-1)
<=>2x-1+3=x-1phần4
<=>2x-x=-1/4+1-3
<=>x=-3/4
a. 2( x - 0,5 ) + 3 = 0,25(4x - 1 )
(=) 2x - 1 + 3 = x - 0,25
(=) 2x - x = 1 - 3 - 0,25
(=) x = -2,25
b. 2. (x−14) −4 = −6 (−13x+0,5) +2
(=) 2x - 0.5 - 4 = 2x - 3 + 2
(=) 2x - 2x = 0,5 + 4 -3 +2 ( vô lí )
Vậy phương trình này vô nghiệm
Cho phương trình \(az^2+bz+c=0\) với a,b,c ∈ R , a ≠ 0 có các nghiệm z1,z2 đều không là số thực . Tính P |z1 +z2|2 + |z1 -z2|2 theo a,b,c
A: P= \(\dfrac{b^2-2ac}{a^2}\)
B: P= \(\dfrac{2c}{a}\)
C: P=\(\dfrac{4c}{a}\)
D: P= \(\dfrac{2b^2-4ac}{a^2}\)
\(\Delta=b^2-4ac\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\\z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left|z_1+z_2\right|^2=\dfrac{b^2}{a^2};\left|z_1-z_2\right|^2=\dfrac{4ac-b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{4c}{a}\) => C
Cho phương trình: x2 + 5x + m – 2 = 0 (m là tham số).
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: \(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=2\)
\(\Delta=25-4\left(m-2\right)=25-4m+8=33-4m\)
Để pt có 2 nghiệm pb khi m =< 33/4
Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{x_2-1+x_1-1}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=\dfrac{x_1+x_2-2}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=2\)
Thay vào ta được : \(\dfrac{-7}{m-2+5+1}=2\Leftrightarrow\dfrac{-7}{m+4}=2\Rightarrow-7=2m+8\Leftrightarrow m=-\dfrac{15}{2}\)(tm)
\(Pt:x^2+5x+m-2=0.có.2.nghiệm.phân.biệt\\ x_1,x_2\ne1\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=5^2-4\left(m-2\right)=33-4m>0\\1^2+5.1+m-2\ne0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{33}{4}\\m\ne-4\end{matrix}\right.\)
Theo định lí Vi ét, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\\ Từ.giả.thiết:\\ \dfrac{ 1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=2\\ \Rightarrow x_2-1+x_1-1=2\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)-2=2\left[x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1\right]\\ \Leftrightarrow-5-2=2\left(m-2+5+1\right)\Leftrightarrow-7=2\left(m+4\right)\\ \Rightarrow m=\dfrac{-15}{2}\)