Hình vẽ:

~~~~

a/ Xét tam giác ABM và ACM có:

AB = AC(gt)

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(gt\right)\)

AM: chung

=> tg ABM = tg ACM (cgc)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{CMA}\) mà \(\widehat{BMA}+\widehat{CMA}=180^o\) (kề bù)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{CMA}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

=> AM _|_ BC (đpcm)

b/ Xét 2 tg vuông: AMN và AME có:

AM: chung

\(\widehat{NAM}=\widehat{EAM}\) (gt)

=> tg AMN = tg AME(ch-gn)

=> MN = ME => tg MEN cân tại M (đpcm)

c/ xét tg ABE và tg ACN có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{BAC}:chung\)

AE = AN (tg AME = tg AMN)

=> tg ABE = tg ACN (cgc)

=> \(\widehat{ABE}=\widehat{ACN}\) mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

=> \(\widehat{EBC}=\widehat{NCB}\) => tg IBC cân tại I => IB = IC

Xét tg AIB và AIC có:

AI: chung

AB = AC (gt)

IB = IC (cmt)

=> tg AIB = tg AIC (ccc) => \(\widehat{IAB}=\widehat{IAC}\) mà I nằm trong tg ABC => AI là tia p/g của goác BAC

mặt khác: AM cx là tia p/g của góc BAC (gt)

=> AI trùng AM => A, I, M thẳng hàng (đpcm)

d/ Có: AE = AN (đã cm) => tg AEN cân tại A (đpcm)

....Hình tự vẽ.....> . < ....

a) Xét ΔABM và ΔACM có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) ( AM là tia phân giác của góc A )

AM là cạnh chung

=> ΔABM = ΔACM ( c.g.c )

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) ( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\) ( 2 góc kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180}{2}=90^0\)

hay AM⊥BC

b) ΔABC có AB = AC ( gt ) => ΔABC cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( 2 góc ở đáy ) hay \(\widehat{NBM}=\widehat{ECM}\)

Do ΔABM = ΔACM (c/m a)

=> BM = CM ( 2 cạnh tương ứng )

+) Xét ΔNMB và ΔEMC có:

\(\widehat{BNM}=\widehat{CME}=90^0\)

\(\widehat{NBM}=\widehat{ECM}\left(cmt\right)\)

BM = CM (cmt)

=> ΔNMB = ΔEMC ( c.h-g.n)

=> MN = ME ( 2 cạnh tương ứng )

=> ΔMEN cân tại M

c)+) Xét ΔIBM và ΔICM có:

BM = CM ( c/m b)

\(\widehat{IMB}=\widehat{IMC}=90^0\)

IM là cạnh chung

=> ΔIBM = ΔICM ( c.g.c)

=> IB = IC ( 2 cạnh tương ứng )

+) Xét ΔABI và ΔACI có:

AB = AC ( gt )

IB = IC (cmt)

AI là cạnh chung

=> ΔABI = ΔACI ( c.c.c )

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) ( 2 góc tương ứng )

=> AI là tia phân giác của góc BAC

mà AM cũng là tia phân giác của BAC ( gt )

=> AI và AM trùng nhau

=> A,I,M thẳng hàng

d) Do ΔNMB = ΔEMC (c/m b)

=> BN = CE ( 2 cạnh tương ứng )

Ta có:

AN = AB - BN

AE = AC - CE

mà AB = AC (gt) ; BN = CE ( cmt )

=> AN = AE => ΔANE cân tại A

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{KAC}\) chung

Do đó: ΔAHB=ΔAKC(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AH=AK(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔAHK có AH=AK(cmt)

nên ΔAHK cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{AKH}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAHK cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AKH}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{AKH}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên HK//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

c) Ta có: ΔHBM vuông tại H(gt)

nên \(\widehat{HBM}+\widehat{HMB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{ABC}+\widehat{IMB}=90^0\)(3)

Ta có: ΔPBC vuông tại P(gt)

nên \(\widehat{PBC}+\widehat{PCB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{IBM}+\widehat{ACB}=90^0\)(4)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy)(5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\widehat{IBM}=\widehat{IMB}\)

Xét ΔIBM có \(\widehat{IBM}=\widehat{IMB}\)(cmt)

nên ΔIBM cân tại I(Định lí đảo của tam giác cân)

Xét ΔABC có 

AM là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)

BP là đường cao ứng với cạnh AC(gt)

AM cắt BP tại O(gt)

Do đó: O là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)

Suy ra CO\(\perp\)AB

mà MH\(\perp\)AB(gt)

nên CO//MH(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

a) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: MB=MC(M là trung điểm của BC)

nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của BC

hay AM⊥BC(đpcm)

b) Xét ΔHBM vuông tại H và ΔKCM vuông tại K có 

MB=MC(M là trung điểm của BC)

\(\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\)(ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔHBM=ΔKCM(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: BH=CK(hai cạnh tương ứng)

a)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

mà AM là đường phân giác ứng với cạnh đáy BC(gt)

nên AM là đường cao ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)

\(\Leftrightarrow AM\perp BC\)

Xét ΔABC có 

AM là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)

BK là đường cao ứng với cạnh AC(Gt)

AM cắt BK tại I(Gt)

Do đó: I là trực tâm của ΔBAC(Tính chất ba đường cao của tam giác)

Suy ra: CI\(\perp\)AB(Đpcm)

a) Tam giác ABC cân tại A có AM là phân giác, do đó AM cũng là đường cao
AM vuông góc với BC
Lại có BK vuông góc với AC
Do đó I là trực tâm của tam giác ABC
Vậy CI vuông góc với AB

b) Tam giác BDH = tam giác DBP (ch.gn)

Do đó BH = DP

BDKQ là hình chữ nhật => DP = HK

=> BK = BH + HK = DP + DQ (đpcm)

BDBA=BHBI" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.15px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">BDBA=BHBI

$\to BD.BI=BH.BA$

Thanh Nguyen Phuc  : Copy thì nhớ ghi nguồn nhé , cóp lỗi hết cả bài làm rồi kìa :))