Nối H với I

+) Xét tam giác KHC có: I; P là trung điểm KC; HK => IP là đường trung bình của tam giác 

=> IP // HC mà AH | HC nên IP | AH => IP là đường cao của tam giác AHI

+) Xét tam giác AHI có:  HK; IP là 2 đường cao của tam giác ; HK cắt IP tại P

=> P là trực tâm của tam giác => AP là đường cao thứ ba => AP | HI  (1)

+) Xét tam giác BCK có: I; H là trung điểm của KC; BC => IH là đường trung bình của tam giác 

=> IH // BK  (2)

(1)(2) => AP | BK 

Khó thế, mình mới lớp 5 thôi

Từ I kẻ tia IP cắt AH tại Q

Xét tam  giác HKC taco:

P là trung điểm của HK(gt)

I là trung điểm của KC(gt)

\(\rightarrow\) IP là đường trung bình của tam giác HKC

\(\rightarrow\) tia IP song song với HC

Mà HC vuông góc với AH nên IQ vuông góc với AH

Xét tam giác CKB ta có

I là trung điểm của HC(gt)

H là trung điểm của BC( Vì AH là đường cao cuả tam giác cân ABC )

\(\rightarrow\) IH là đường trung bình của tam giác BCK

\(\rightarrow\) IH song song với BK(tính chất đường trung bình trong tam giác)

Xét tam giác AHI ta có

Đường cao IQ cắt đường cao HK tại P nên P là trực tâm của tam giác AHI

Mà tia AP đi qua P cắt HI tại 1 điểm gọi là D nên AD là đường cao thứ 3 của tam giác AHI

\(\rightarrow\) AD vuông góc với HI

mà HI song song với BK(CMT) nên AD  vuông góc với BK hay AP vuông góc với BK (ĐPCM)

thiếu đề

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BA
N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2

=>MN=BE và MN//BE

=>BMNE là hình bình hành

b: Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=AM

=>M nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=AC/2=AN

=>N nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là đường trung trực của AH

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

E là trung điểm của BC

Do đó: ME là đường trung bình

=>ME=AC/2

mà HN=AC/2

nên ME=HN

Xét tứ giác MNEH có MN//EH

nên MNEH là hình thang

mà ME=NH

nên MNEH là hình thang cân

Trên KC lấy điểm M sao cho MC = MK.Nối M với H. Xét tam giác KHC có: I,M lần lượt là trung điểm của HK, KC =>MI là đường trung bình của tam giác =>IP//HC mà AH vuông góc với HC(gt) nên IM là hai đường cao của của tam giác AHM. Xét tam giác AHM có: HK, IP là hai đường cao của tam giác; HK cắt IM tại I => I là trực tâm tam giác => AI là đường cao ứng với cạnh HM.=> AI vuông góc với HM(1). Xét tam giác BCK có: M,H lần lượt là trung điểm của KC,BC => MH là đường trung bình của tam giác =>MH song song với BK(2). Từ (1)và(2)=>AI vuông góc với BK(đpcm)

Bài 2:

Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)BEC = \(\Delta\)AEH (c.g.c) và \(\Delta\)CDB = \(\Delta\)ADK

Suy ra HA = BC. và KA = BC từ đó suy ra HA = KA (1)

Do ED là đường trung bình tam giác BAK nên ED // AK (2)

Do ED là đường trung bình tam giác HCA nên ED // AH (3)

Từ (2) và (3) theo tiên đề Ơclit suy ra A, H, K thẳng hàng (4)

Từ (1) và (4) suy ra đpcm.

Bài 1:

Hình như hơi dư thừa nhỉ? BHCK là hình bình hành thì hiển nhiên CH//BK rồi mà. Đúng hay sai thì tùy!

Giải

Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)BMH = \(\Delta\)CMK (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra ^MBH = ^MCK. Mà hai góc này ở vị trị so le trong nên BH // CK (1) và MH = MK 

Xét \(\Delta\)BMK và \(\Delta\)CMH có:

MH = MK (chứng minh trên)

^BMK = ^HMC

BM = CM (do M là trung điểm BC)

Suy ra  \(\Delta\)BMK = \(\Delta\)CMH (c.g.c)

Suy ra ^MBK = ^MCH. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BK // CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành (đpcm)

Bài 3:

(so với mấy bài kia hình bài này người ra đề cho chẳng đẹp chút nào:(  cộng với kỹ năng vẽ xấu của mình thì nó còn xấu thế :v)

Từ đề bài ta có AD = BC (do ABCD là hình bình hành); BC = BF (do tam giác CBF vuông cân tại B) (chỗ này mình không canh mãi mà nó vẫn ko bằng trên hình vẽ). Do đó AD = BF (cùng bằng BC)

Mặt khác tam giác ABE vuông cân tại B nên AB = AE

Do AD // BC nên ^DAB + ^ABC = 180^o(1)

Mặt khác ta có ^ABC + ^EBF = 360^o - (^ABE + ^CBF) = 180^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^DAB = ^EBF (cùng bù với ^ABC)

Từ đây ta dễ dàng chứng minh được tam giác ADB = tam giác FBE (c.g.c)

Suy ra DB = EF.

b) Chịu