Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông với đáy. Trên cạnh BC lấy điểm M di động và cạnh CD lấy N di động sao cho góc MAN=45 độ. Gọi BM=x, DN=y và (0<x;y<a)
Chứng minh a(x+y)=a2-xy
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh BC, CD. Đặt BM=x, DN=y (0<x,y<a). Hệ thức liên hệ giữa x và y để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh BC, CD. Đặt B M = x , D N = y 0 < x , y < a . Hệ thức liên hệ giữa x và y để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là:
A. x 2 + a 2 = a x + 2 y .
B. x 2 + a 2 = a x + y .
C. x 2 + 2 a 2 = a x + y .
D. 2 x 2 + a 2 = a x + y .
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$. Góc $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy. Trên cạnh $BC$ và $CD$ lần lượt lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $MB = MC$ và $NC = 2ND$. Gọi $P$ là giao điểm $AC$ và $MN$. Tính khoảng cách từ $P$ đến mặt phẳng $(SAB)$.
Dựng CH _|_ AB => CH _|_ (SAB)
Giả sử MN cắt AD tại F. Theo định lý Talet ta có:
\(\frac{DF}{MC}=\frac{ND}{NC}=\frac{1}{2}\Rightarrow DF=\frac{MC}{2}=\frac{a}{4}\)
Khi đó \(\frac{PA}{PC}=\frac{AF}{MC}=\frac{5}{2}\Rightarrow\frac{CA}{PA}=\frac{7}{5}\)
Do đó: d (P;(SAB))=\(\frac{5}{7}d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{5}{7}CH=\frac{5}{7}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{5a\sqrt{3}}{14}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}a5}{14}\)
d(p,(sab))=a\(\dfrac{5\sqrt{3}}{14}\)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a tâm O, hai điểm di động M,N lần lượt trên hai cạnh BC, CD sao cho góc MAN= 45 độ. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, D trên AM, AN
a). Chứng minh tg ABHO, ADKO nội tiếp khi BM= DN= \(\dfrac{a}{3}\)
b) Chứng minh \(\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AK}{AM}\)
Chi tiết \(BM=DN=\dfrac{a}{3}\) hoàn toàn không cần thiết
a.
Ta có: \(AC\perp BD\) tại O (2 đường chéo hình vuông) \(\Rightarrow O\) thuộc đường tròn đường kính AB
\(AH\perp BH\) (gt) \(\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính AB
\(\Rightarrow\) 4 điểm A,B,O,H cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác ABHO nội tiếp
Hoàn toàn tương tự, 4 điểm ADKO cùng thuộc đường tròn đường kính AD nên tứ giác ADKO nội tiếp
b.
Trong tam giác vuông ABM vuông tại B với đường cao BH, áp dụng hệ thức lượng:
\(AB^2=AH.AM\)
Tương tự, trong tam giác vuông ADN:
\(AD^2=AK.AN\)
Mà \(AB=AD=a\Rightarrow AH.AM=AK.AN\Rightarrow\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AK}{AM}\) (đpcm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = y > 0 và vuông góc với đáy. Trên AD lấy điểm M, đặt AM = x (0 < x < a) . Nếu x 2 + y 2 = a 2 thì giá trị lớn nhất của thể tích S.ABCM bằng:
A. a 3 3 3
B. a 3 3 8
C. a 3 3 24
D. 3 a 3 3 8
Đáp án B
S A = y = a 2 - x 2 ; S A B C M = B C + A M 2 . A B = a + x 2 . a
S A B C M = 1 3 S A B C M . S A = a 6 ( a + x ) a 2 - x 2
Xét hàm số f ( x ) = ( a + x ) a 2 - x 2 trên 0 ; a ta được:
m a x 0 ; a f ( x ) = f a 2 = 3 3 a 2 4 ⇒ V m a x = a 3 3 8
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = y > 0 và vuông góc với đáy. Trên AD lấy điểm M, đặt AM = x (0 < x < a). Nếu x 2 + y 2 = a 2 thì giá trị lớn nhất của thể tích S.ABCM bằng:
A . a 3 3 3
B . a 3 3 8
C . a 3 3 24
D . 3 a 3 3 8
Cho hình chóp S.ABCD có đáy BACD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Trên SB, SD lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho S M S B = m > 0 , S N S D = n > 0 . Tính thể tích lớn nhất V max của khối chóp S,AMN biết 2 m 2 + 3 n 2 = 1 .
A. V max = a 3 6 72
B. V max = a 3 48
C. V max = a 3 3 24
D. V max = a 3 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=y>0 và vuông góc với đáy. Trên AD lấy điểm M, đặt A M = x 0 < x < a . Nếu x 2 + y 2 = a 2 thì giá trị lớn nhất của thể tích S.ABCM bằng
A. a 3 3 3
B. a 3 3 8
C. a 3 3 24
D. 3 a 3 3 8
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA=y Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM=x Biết rằng x 2 + y 2 = a 2 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.