Bỏ một cái =3 đi nha mk đánh nhầm thông cảm dùm

x = 1

y = 1

z = 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Vì x,y,z là các số nguyên dương

nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(1)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(2)

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(3)

Nhân (1), (2) và (3) theo vế ta có :

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}=8\sqrt{xy\cdot yz\cdot zx}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8\left|xyz\right|=8xyz\)

( do x,y,z là các số nguyên dương )

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z

=> đpcm

áp dụng BĐT AM-GM 

ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)

=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z\left(ĐPCM\right)}\)

P/s : Mik ko chắc 

Áp dụng BĐT Cô - si , ta có : 

\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\left(1\right)\)

\(\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\Rightarrow y+z\ge2\sqrt{yz}\left(2\right)\)

\(\frac{z+x}{2}\ge\sqrt{zx}\Rightarrow z+x\ge2\sqrt{zx}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8.\sqrt{x^2y^2z^2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\left(\sqrt{xyz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)

Dấu \("="\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\)

\(\left(đpcm\right)\)

~ Ủng hộ nhé 

\(x+y+z=6\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2=36\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=36\)

\(\Leftrightarrow\)\(2xy+2yz+2zx=24\)

\(\Leftrightarrow\)\(2xy+2yz+2zx=2x^2+2y^2+2z^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z}\)

Mà \(x+y+z=6\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{6}{3}=2\)

Vậy \(x=y=z=2\)

Chúc bạn học tốt ~ 

ĐK: x + y + z = 6; \(x^2+y^2+z^2=12\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số (1;1;1) và (x;y;z).Ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Thay \(x+y+z=6\) và ta có:

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge36\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge12\) (tmđk)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{6}{3}=2\) (*)

Từ (*) suy ra  x=y=z=2

Lời giải:

Áp dụng TCDTSBN:

$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1$

$\Rightarrow x=y; y=z; z=x\Rightarrow x=y=z$

Khi đó:

$|x+y|=|z-1|$

$\Leftrightarrow |2x|=|x-1|$

$\Rightarrow 2x=x-1$ hoặc $2x=-(x-1)$

$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$ (đều thỏa mãn)

Vậy $(x,y,z)=(-1,-1,-1)$ hoặc $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}=\frac{y+z-x+z+x-y+x+y-z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

=> x=y=z 

Ta có: 1 + x/y = (x+y)/y = (y+y)/y = 2y/y = 2

          1+ y/z = (y+z)/z = (z+z)/z = 2z/z = 2

    1 + z/x = (z+x)/z = (x+x)/x = 2x/x = 2

Vậy B= 2.2.2 = 8