\(\left\{{}\begin{matrix}x^3y^2+x^2y^3+x^3y+2x^2y^2+xy^3-30=0\\x^2y+xy^2+xy+x+y-11=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)^2-30=0\\xy\left(x+y\right)+xy+x+y-11=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)\left[xy+x+y\right]-30=0\\xy\left(x+y\right)+xy+x+y-11=0\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=u\\xy+x+y=v\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}uv-30=0\\u+v-11=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left(u;v\right)=\left(6;5\right);\left(5;6\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=6\\xy+x+y=5\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=3\end{matrix}\right.\)(vô nghiệm)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=5\\xy+x+y=6\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\xy=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=5\end{matrix}\right.\) (vô nghiệm)

2 câu dưới hình như em hỏi rồi?

Lời giải:

HPT tương đương:

\(\left\{\begin{matrix} 2x^2y=y^2+1\\ 2xy^2=x^2+1\end{matrix}\right.\)

Trừ hai pt cho nhau thì:

$2xy(x-y)+x^2-y^2=0$

$\Leftrightarrow 2xy(x-y)+(x-y)(x+y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(2xy+x+y)=0$

$\Leftrightarrow x-y=0$ hoặc $2xy+x+y=0$

Nếu $x-y=0\Leftrightarrow x=y$. Thay vào pt (1):

$2x^2=x+\frac{1}{x}$

$\Rightarrow 2x^3=x^2+1$

$\Leftrightarrow (x-1)(2x^2+x+1)=0$

Đến đấy thì đơn giản rồi.

Nếu $2xy+x+y=0$:

Từ $2x^2=y+\frac{1}{y}=\frac{y^2+1}{y}$

Mà $2x^2>0; y^2+1>0$ với mọi $x,y\neq 0$ nên $y>0$

Tương tự $x>0$

$\Rightarrow 2xy+x+y>0$. Do đó TH này loại

Vậy...........

ý a ở đây bn https://hoc247.net/hoi-dap/toan-10/giai-he-pt-3x-x-2-2-y-2-va-3y-y-2-2-x-2-faq371128.html

b.

Với \(xy=0\) không là nghiệm

Với \(xy\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(y^2+1\right)=y\left(5-x^2\right)\\y^2+1=y\left(5-2x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2+1}{y}=\dfrac{5-x^2}{x}\\\dfrac{y^2+1}{y}=5-2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{5-x^2}{x}=5-2x\)

\(\Leftrightarrow5-x^2=5x-2x^2\)

\(\Leftrightarrow...\)

c.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2=3\\2x^2-\left(y+1\right)^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2=3\\6x^2-3\left(y+1\right)^2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5x^2-x\left(y+1\right)-4\left(y+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(5x+4\left(y+1\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x-1\\y=-\dfrac{5x+4}{4}\end{matrix}\right.\)

Thế vào 1 trong 2 pt ban đầu...

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2=2y\left(1\right)\\y^3+x^2=2x\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1)-(2), ta được:

\(x^3-y^3-\left(x^2-y^2\right)+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-x-y+2\right)=0\)

*Với \(x=y\). Từ (1) ta có: \(x^3+x^2-2x=0\)

Giải ra ta được: \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

*Với \(x^2+xy+y^2=x+y-2\). Đặt \(S=x+y;P=xy\).

Khi đó ta có: \(S^2-S+2=P\left(1'\right)\)

Lấy (1)+(2) ta được:

\(x^3+y^3+x^2+y^2=2\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow S^3-3SP+S^2-2P=2S\left(2'\right)\)

Thay (1') vào (2'), ta được:

\(S^3-3S\left(S^2-S+2\right)+S^2-2\left(S^2-S+2\right)=2S\)

\(\Leftrightarrow-2S^3+2S^2-6S-4=0\)

\(\Leftrightarrow S^3-S^2+3S+2=0\)

Đến đây mình bấm máy và nó ra nghiệm xấu ;)) bạn thử kiểm tra lại cách rút gọn của mình xem có gì sai sót nhé. Từ đây ta tìm được S, rồi tìm được P và sử dụng định lí Viète đảo để tính x,y nhé.

cộng vế 2 phương trình. Giải pt trùng phương nghiệm x+y

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3+x^3y^3=17\\x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+x^3y^3=17\\x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\xy=b\end{matrix}\right.\left(a^2\ge4b\right)\)

Hệ phương trình trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}a^3-3ab+b^3=17\\a+b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b+1\right)=17\\a+b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=6\\a+b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2;b=3\left(l\right)\\a=3;b=2\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

2.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3=2\\xy\left(x+y\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=2\\xy\left(x+y\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^3-6=2\\xy\left(x+y\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^3=8\\xy\left(x+y\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy\left(x+y\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=1\)

3.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4+x^2y^2=481\\x^2+y^2+xy=37\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=481\\x^2+y^2+xy=37\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=a\\xy=b\end{matrix}\right.\)

Hệ phương trình trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=481\\a+b=37\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(37-b\right)^2-b^2=481\\a=37-b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}74b=888\\a=37-b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=12\\a=25\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=12\\x^2+y^2=25\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2xy=24\\x^2+y^2=25\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=49\)

\(\Leftrightarrow x+y=\pm7\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}xy=12\\x+y=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}xy=12\\x+y=-7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)