How many boxes are crossed by a diagonal in a rectangular table formed by 199 x 991 small squares?
Có bao nhiêu ô được gạch chéo bởi một đường chéo trong một bảng hình chữ nhật được tạo thành bởi 199 x 991 ô vuông nhỏ
Giải bằng tiếng việt nha
How many boxes are crossed by a diagonal in a rectangular table formed by 199 x 991 small squares?
Another alternative explanation.
Mark the leftmost square crossed of each row as ‘r’, and the topmost crossed square of each column with ‘c’. Thus, each square can be marked either ‘r’ or ‘c’ or ‘both r and c’ or ‘neither r nor c’. We’ll examine each case.
For a square to be marked both ‘r’ and ‘c’, the diagonal must pass through the upper left corner of the square.
For square to be marked ‘r’, diagonal should pass through its upper edge.
For square to be marked ‘c’, diagonal must pass through its left edge.
For square to be marked neither ‘r’ nor ‘c’, diagonal must pass through it’s upper as well as left edge, which is not possible. Therefore, no triangles are unmarked.
Now, no. of squares crossed = no. of squares marked ‘r’ + no. of squares marked ‘c’ - no. of squares marked both ‘r’ and ‘c’
Now, no. of r’s = no. of rows (only 1 leftmost crossed square in each row)
no. of c’s = no. of columns (only 1 topmost crossed square in each column)
all rows and columns are crossed by the diagonal.
Therefore, squares crossed = rows + columns - (no. of squares marked both ‘r’ and ‘c’)
Now, only 1 square is marked both ‘r’ and ‘c’ as 199 and 991 are coprime.
Therefore squares crossed = 199 + 991 - 1 = 1189
Look at this video if you want a clearer visual explanation:
How many boxes are crossed by a diagonal in a rectangular table formed by 199 x 991 small squares?
Tham khảo:
Another alternative explanation.
Mark the leftmost square crossed of each row as ‘r’, and the topmost crossed square of each column with ‘c’. Thus, each square can be marked either ‘r’ or ‘c’ or ‘both r and c’ or ‘neither r nor c’. We’ll examine each case.
For a square to be marked both ‘r’ and ‘c’, the diagonal must pass through the upper left corner of the square.
For square to be marked ‘r’, diagonal should pass through its upper edge.
For square to be marked ‘c’, diagonal must pass through its left edge.
For square to be marked neither ‘r’ nor ‘c’, diagonal must pass through it’s upper as well as left edge, which is not possible. Therefore, no triangles are unmarked.
Now, no. of squares crossed = no. of squares marked ‘r’ + no. of squares marked ‘c’ - no. of squares marked both ‘r’ and ‘c’
Now, no. of r’s = no. of rows (only 1 leftmost crossed square in each row)
no. of c’s = no. of columns (only 1 topmost crossed square in each column)
all rows and columns are crossed by the diagonal.
Therefore, squares crossed = rows + columns - (no. of squares marked both ‘r’ and ‘c’)
Now, only 1 square is marked both ‘r’ and ‘c’ as 199 and 991 are coprime.
Therefore squares crossed = 199 + 991 - 1 = 1189
For a rectangle of size m×nm×n with sizes being coprime:
when a diagonal leaves the starting corner, it goes through the first square;and before it reaches the opposite corner it crosses n−1n−1, say, horizontal lines of the grid, and m−1m−1 vertical lines, each time entering a new square.So the diagonal visits m+n−1m+n−1 unit squares.
For sizes not coprime let d=gcd(m,n)d=gcd(m,n). Then we can reduce the problem to dd rectangles of size md×ndmd×nd which makes a result of
d⋅(md+nd−1)=m+n−dd⋅(md+nd−1)=m+n−d=m+n−gcd(m,n)=m+n−gcd(m,n)
And we can see, that the former result is a special case of the latter: the 'minus one' term is a 'minus GCD of sizes', since a GCD of coprime numbers is 11.
Chúc bạn học tốt nhớ cho mình 1 like nhé !
Toán Tiếng Anh:
1. How many boxes are crossed by a diagonal in a rectangular table formed by 199 x 991 small squares?
2. The son of a professor's father is talking to the father of the professor's son, and the professor does not take part in the conversation. Is this possible?
Toán Tiếng Anh:
1. How many boxes are crossed by a diagonal in a rectangular table formed by 199 x 991 small squares?
2. The son of a professor's father is talking to the father of the professor's son, and the professor does not take part in the conversation. Is this possible?
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ các đường chéo AC, BD của hình chữ nhât. Khi quay các cạnh và các đường chéo của hình chữ nhật ABCD quanh trục AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ các đường chéo AC, BD của hình chữ nhât. Khi quay các cạnh và các đường chéo của hình chữ nhật ABCD quanh trục AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?
A. Một hình nón
B. Hai hình nón
C. Ba hình nón
D. Không có hình nón nào
Một người thợ xây đang lát gạch sàn nhà anh ta muốn cắt viên gạch làm đoi theo một đường chéo của nó, em hãy tính góc tạo bởi đường chéo và một cạnh của hình vuông, Biết rằng đường chéo là hình ảnh tia phân giác của góc tạo bởi 2 cạnh liền nhau của viên gạch.
Diện tích phần gạch lát là :
\(4\)x \(4=16\)\(\left(m\right)\)
Số gạch lát sàn là :
\(16:4=6\)( viên)
đs.............
Một chiếc tivi hình chữ nhật màn hình phẳng 75 inch (đường chéo tivi dài 75 inch) có góc tạo bởi chiều rộng và đường chéo là 53 08'o. Hỏi chiếc tivi ấy có chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu cm? Biết 1 inch = 2,54cm. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
: Một nền nhà hình chữ nhật có chiều dài 30m, chiều rộng là 27m. Người ta dự định lát nền bởi những viên gạch men hình thoi có độ dài 2 đường chéo là 30cm và 40cm. Hỏi người ta cần dùng bao nhiêu viên gạch để lát
giúp em với em đang cần gấp
Diện tích của nền nhà là:
\(30\times27=810\left(m^2\right)\)
Diện tích của mỗi viên gạch men là:
\(\left(30\times40\right):2=600\left(cm^2\right)=0,06\left(m^2\right)\)
Cần số viên gạch để lát cho cả căn phòng là:
\(810:0,06=13500\) (viên)
Đáp số: 13500 viên