1) Ta có: \(\Delta AHF\) nội tiếp đường tròn (D) có AH là đường kính 

\(\Rightarrow\widehat{AFH}=90^o\) (1) 

\(\Delta AHE\) nội tiếp đường tròn (D) có AH là đường kính 

\(\Rightarrow\widehat{AEH}=90^o\) (2) 

Mà: \(\widehat{EAF}=90^o\left(gt\right)\) (3) 

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\) Tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật 

2) Áp dụng hệ thức lượng cho ΔABH có đường cao HE ta có:

\(AE\cdot AB=AH^2\) (4) 

Áp dụng hệ thức lượng cho ΔACH có đường cao HF ta có:

\(AF\cdot AC=AH^2\) (5) 

Từ (4) và (5) ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\left(đpcm\right)\)

a: MA=MC

OA=OC

=>OM là trung trực của AC

=>OM vuông góc AC tại K

góc AHO+góc AKO=180 độ

=>AHOK nội tiếp

b:

góc BMC=1/2*sđ cung BC=90 độ

=>CM vuông góc BC

góc CFE+góc CBM=90 độ

góc CBM+góc MCB=90 độ

=>góc CFE=góc MCB

góc CEM=1/2(sđ cung CM+sđ cung BA)

=1/2(sđ cung AM+sđ cung AB)

=1/2*sđ cung MB

=góc MCB

=>góc CEF=góc CFE

=>ΔCEF cân tại C

a: Xéttứ giác AEHF có góc AEH+góc AFH=180 độ

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

c: Xét tứ giác AEDC có góc ADC=góc AEC=90 độ

nên AEDC là tứ giác nội tiếp

d: góc EDA=góc ABF

góc FDA=góc FDH=góc ACE

mà góc ABF=góc ACE

nên góc EDA=góc FDA

=>DA là phân giác của góc EDF

B1, a, Xét tứ giác AEHF có: góc AFH = 90^o  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

                                             góc AEH = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

                                             Góc CAB = 90^o ( tam giác ABC vuông tại A)

=> tứ giác AEHF là hcn(đpcm)

b, do AEHF là hcn => cũng là tứ giác nội tiếp => góc AEF  = góc AHF ( hia góc nội tiếp cùng chắn cung AF)

mà góc AHF = góc ACB ( cùng phụ với góc FHC)

=> góc AEF = góc ACB => theo góc ngoài tứ giác thì tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (đpcm)

c,gọi M là giao điểm của AI và EF

ta có:góc AEF = góc ACB (c.m.t) (1)

do tam giác ABC vuông tại A và có I là trung điểm của cạng huyền CB => CBI=IB=IA

hay tam giác IAB cân tại I => góc MAE = góc ABC (2)

mà góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180^o (tổng 3 góc trong  một tam giác)

=>  ACB + góc ABC = 90^o (3)

từ (1) (2) và (3) => góc AEF + góc MAE = 90^o

=> góc AME = 90^o (theo tổng 3 góc trong một tam giác)

hay AI uông góc với EF (đpcm)

em moi lop 6 huhuhuhuhuhu

HỎI TỪNG CÂU THÔI !

(Đề hay quá!)

Gọi \(X\) là trung điểm \(BC\). CM được \(DF,AI,MN\) đồng quy tại điểm ta gọi là \(K\).

Theo tính chất đường trung bình ta có \(MN\) song song \(AB\).

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) cũng suy ra \(AB\) song song với \(IE\).

Áp dụng định lí Thales liên tục ta có:

\(\frac{AN}{IE}=\frac{MN}{MI}=\frac{KA}{KI}=\frac{AP}{ID}\).

Do \(ID=IE\) nên \(AN=AP\). Kết thúc chứng minh.

ê,chứng minh AI,DF,MX đồng quy kiểu gị ?

Gọi D là tiếp điểm giữa (I) và BC. K là điểm đối xứng với D qua H.

Ta dễ chứng minh \(\Delta\)CER = \(\Delta\)CDR (c.g.c). Suy ra ^CER = ^CDR = 180⁰ - ^RDK = 180⁰ - ^RKC

Do đó tứ giác CERK nội tiếp. Tương tự tứ giác BFQK nội tiếp. Từ đó (REC) cắt (QFB) tại K

Gọi G là giao điểm thứ hai của (REC) và (QFB); DI cắt lại (AEF) ở L. Khi đó G là điểm Miquel trong \(\Delta\)ABC

Suy ra G thuộc đường tròn (AEIF). Ta có ^GRI = ^GKB = ^GQB. Suy ra 4 điểm G,R,I,Q đồng viên

Ta lại có AI là đường kính của (AELIF) nên AL // HD (Cùng vuông góc ID), và AL = HD = HK   (1)

Từ đó có biến đổi góc ^IGL + ^IGQ + ^QGK = ^IAL + ^IRQ + ^QBK = ^BAC/2 + ^ACB + 90⁰ - ^ACB/2 + ^ABC/2 = 180⁰

Suy ra ba điểm K,G,L thẳng hàng   (2)

Từ (1) và (2) suy ra KG chia đôi AH hay trục đẳng phương của (REC) và (QFB) chia đôi AH (đpcm).