\(f\left(x\right)=\sum\limits^3_{i=0}C_3^i\left(x+x^2\right)^i.\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}\sum\limits^{15}_{k=0}C_{15}^k\left(2x\right)^k\)

\(=\sum\limits^3_{i=0}\sum\limits^i_{j=0}C_3^i.C_i^jx^j.\left(x^2\right)^{i-j}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}\sum\limits^{15}_{k=0}C_{15}^k.2^k.x^k\)

\(=\sum\limits^3_{i=0}\sum\limits^i_{j=0}\sum\limits^{15}_{k=0}C_3^iC_i^jC_{15}^k\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}.2^k.x^{2i+k-j}\)

Số hạng chứa \(x^{13}\) thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le3\\0\le j\le i\\0\le k\le15\\2i+k-j=13\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left(i;j;k\right)=\left(0;0;13\right);\left(1;0;12\right);\left(1;1;11\right);\left(2;0;11\right);\left(2;1;10\right);\left(2;2;9\right);\left(3;0;10\right);\left(3;1;9\right)\)

\(\left(3;2;8\right);\left(3;3;7\right)\) (quá nhiều)

Hệ số....

\(\left(x^{-4}+x^{\frac{5}{2}}\right)^{12}\) có SHTQ: \(C_{12}^kx^{-4k}.x^{\frac{5}{2}\left(12-k\right)}=C^k_{12}x^{30-\frac{13}{2}k}\)

Số hạng chứa \(x^8\Rightarrow30-\frac{13}{2}k=8\Rightarrow\) ko có k nguyên thỏa mãn

Vậy trong khai triển trên ko có số hạng chứa \(x^8\)

b/ \(\left(1-x^2+x^4\right)^{16}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_4=16\\2k_2+4k_4=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_4\right)=\left(8;8;0\right);\left(9;6;1\right);\left(10;4;2\right);\left(11;2;3\right);\left(12;0;4\right)\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^{16}\):

\(\frac{16!}{8!.8!}+\frac{16!}{9!.6!}+\frac{16!}{10!.4!.2!}+\frac{16!}{11!.2!.3!}+\frac{16!}{12!.4!}=...\)

c/ SHTQ của khai triển \(\left(1-2x\right)^5\) là \(C_5^k\left(-2\right)^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^4\) có hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^4\)

SHTQ của khai triển \(\left(1+3x\right)^{10}\) là: \(C_{10}^k3^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_{10}^33^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^5\) là: \(C_5^4\left(-2\right)^4+C_{10}^3.3^3\)

Ta có: \(x.\left(C^k_n.a^{n-k}.b^k\right)=x.\left(C^k_5.a^{5-k}.b^k\right)=C^k_5.1^{5-k}.2^k.x^k.x\)

\(=C^k_5.2^k.x^{k+1}\)

Mà ta cần tìm số hạng của x⁵

\(\Rightarrow k+1=5\Leftrightarrow k=4\)

Vậy số hạng của x⁵ là: \(C^4_5.2^4=80\)

Ta nhân thêm ''x'' vào số hạng tổng quát vì có ''x'' là nhân tử chung của mỗi số hạng trong khải triển

\(\left(x^2+1-x^3\right)^8=\sum\limits^8_{k=0}C^k_8.\left(x^2-x^3\right)^k\)

\(=\sum\limits^8_{k=0}C^k_8\sum\limits^k_{i=0}C^i_k.\left(x^2\right)^{k-i}\left(x^3\right)^i\)

\(=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C^k_8C^i_k.x^{2k+i}\)

\(\Rightarrow2k+i=8\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2k+i=8\\i\in N\\k\in N\\0\le i\le k\le8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}i=2\\k=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^8\) trong khai triển là \(C^3_8C^2_3=168\).

1D; 2B; 3D

\(\left(2x-x^2\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}\cdot\left(2x\right)^{10-k}\cdot\left(-x^2\right)^k=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}\cdot2^{10-2k}\cdot\left(-1\right)^k\cdot x^{10+k}\)

\(x^{12}\Rightarrow\)\(10+k=12\Rightarrow k=2\)

Hệ số của số hạng đó: \(C^2_{10}\cdot2^6\cdot\left(-1\right)^2=2880\)