Ta có: \(\int\dfrac{x^2+7x}{x^2+3}dx=\int1dx+\int\dfrac{7x}{x^2+3}dx-\int\dfrac{3}{x^2+3}dx=A\)

(Mik sẽ làm từng phần cho bạn dễ hiểu)

+) \(\int\dfrac{7x}{x^2+3}dx\) 

Đặt t = x² + 3, suy ra dt = 2x dx, từ đó:

\(\int\dfrac{7x}{x^2+3}dx=\int\dfrac{7x}{2x.t}dt=\int\dfrac{7}{2t}dt=\dfrac{7}{2}ln\left|t\right|+C=\dfrac{7}{2}ln\left|x^2+3\right|+C\)

+) \(\int\dfrac{-3}{x^2+3}dx\)

Phần này đã có CT nên mik làm nhanh. 

CT: \(\int\dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}arctan\dfrac{x}{a}\)

\(\Rightarrow\int-\dfrac{3}{x^2+3}=-\sqrt{3}.arctan\dfrac{x}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow A=x+\dfrac{7}{2}ln\left|x^2+3\right|-\sqrt{3}arctan\dfrac{x}{\sqrt{3}}+C\)

Từ đó ta có: \(\int\limits^3_1\dfrac{x^2+7x}{x^2+3}dx=A\left(3\right)-A\left(1\right)=2+\dfrac{7}{2}ln3-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{6}\)

\(\Rightarrow a+b+c+d=2+7+2+6=17\)

1) \(A\left(9\right)=\dfrac{2}{\sqrt{9}-2}=2\)

2) \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4\sqrt{x}}{4-x}\left(x\ge0;x\ne4\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{x-4}+\dfrac{4\sqrt{x}}{x-4}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+4\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\left(đpcm\right)\)

3) \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x>4\) ( vì \(x\ne4\) )

4) \(A+B=\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{P}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2-4}{\sqrt{x}+2}=1-\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}\le1\)

GTNN của P xảy ra khi \(\sqrt{x}+2\) đạt GTNN

Mà GTNN của \(\sqrt{x}+2\) là 2 khi x = 0

\(\Rightarrow min_P=\dfrac{\sqrt{0}-2}{\sqrt{0}+2}=-1\)

a. \(\Delta'=\left(m+2\right)^2-m\left(m-1\right)=m^2+4m+4-m^2+m=5m+4\)

\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow5m+4\ge0\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{4}{5}\)

b. \(\Delta>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{4}{5}\)

a. \(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x+\sqrt{x}+2}{x-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\left(x\ge0;x\ne1\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}+\dfrac{x+\sqrt{x}+2}{x-1}\right).\left(\sqrt{x}-1\right)\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1}.\left(\sqrt{x}-1\right)\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\left(\sqrt{x}-1\right)\)

\(=\sqrt{x}+1\)

b. \(P\left(4\right)=\sqrt{4}+1=3\)

Sai câu cuối nhé, 4 - 0,36 mới đúng

Gọi phương trình parabol là: y = ax² + bx + c

Theo đề ta có:

(+) Khi x = 0 thì y = 0 (1)

(+) Khi x = 4 thì y = -4 (2)

(+) đỉnh của parabol có hoành độ là 0 (3)

Từ (1), (2) và (3), ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}c=0\\16a+4b+c=-4\\-\dfrac{b}{2a}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{4}\\b=0\\c=0\end{matrix}\right.\)

Vậy parabol có phương trình: \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\)

Thay x = 1,2 vào parabol, ta được y = -0,36

Vậy để một chiếc ô tô có chiều rộng bằng 2,4m đi qua cổng thì chiều cao tối đa là: 4 + 0,36 = 4,36 m

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AD+DC>AC\\AD+DB>AB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(AD+DB\right)-\left(AD+DC\right)>AB-AC\)

\(\Leftrightarrow DB-DC>AB-AC\)

Đổi 0,125 m³ = 125 dm³ = 125 lít

Đáp số: 125 lít